白蒲中学高一数学教案：平面向量：19(苏教版)_冀教版中学数学教案

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第十九教时

教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课

目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：

一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形

二、例一证明在△ABC中

圆半径

证略见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)

2.正弦定理的三种表示方法(P159)

例

a（asinA

bsinB

csinC

===2R，其中R是三角形外接

二 在任一△ABC中求证：

BssiC)inb(nCssiA)inc(n

AssiB)in0 n

证：左边

=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)=

2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]

=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b解一：由正弦定理得：sinA

2，B=45 求A、C及c

3sin4

52

asinBb



32∵B=45

bsinCsinB



2sin75sin45





6262

当A=120时C=15c

bsinCsinB



2sin15sin45







解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 解之：x

62

当c

62

时cosA

bca

2bc

222

2(

2

622)32



13

62

2(31)



2

从而A=60C=75

当c

62

时同理可求得：A=120C=15

例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P16

1例五 在△ABC中，BC=a, AC=b,a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求1角C的度数2AB的长度3△ABC的面积 解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=∴C=120

2由题设：

ab23ab2

∴AB=AC+BC2AC•BC•osCa2b22abcos120

abab(ab)ab(23)210

即AB=

3S△ABC=absinC

absin120



2

例六 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60,BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x

则BA2BD2AD22BDADcosBDA 即142x2102210xcos60整理得：x210x960

解之：x116x26（舍去）由余弦定理：

BCsinCDB



BDsinBCD

C

A

B

∴BC

16sin135



sin30



82

例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1设三边ak1,bk,ck1kN且k1 ∵C为钝角∴cosC

abc

2ac



k42(k1)

0解得1k

4∵kN∴k2或3但k2时不能构成三角形应舍去 当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

2设夹C角的两边为x,yxy4SxysinCx(4x)当x2时S最大=

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习 补充：1．在△ABC中，求证：

D

ab



(x4x)

cosAcosB



bc

cosBcosC



ca

cosCcosA

0

2．如图ABBCCD=33ACB=30

BCD=75BDC=45 求AB的长(112)

B

C