空间向量在立体几何中的应用(一) 课时教案_空间向量立体几何教案

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空间向量在立体几何中的应用

（一）——求空间两条直线、直线与平面所成的角

知识与技能：引导学生探索并掌握利用空间向量求线线角、线面角的基本方法。、过程与方法：通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方便，激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。情感态度价值观：课堂中进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心 教学重点、难点

重点：利用空间向量解决线线角、线面角问题的基本思路。难点：在解题中的灵活应用。

教学方法：课前预习、独立思考、课堂讨论、当堂训练、课后反思相结合。教学过程：

一、创设情境：

引例：（期中考试卷19题）在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。（1）证明直线AC直线BD；

（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果用反三角表示）。二．探索与发现

1、空间两条直线所成的角

设空间直线a与b所成的角为(02)，它们的一个方向向量分别为d1l1,m1,n1和d2l2,m21,n2，d1与d2的夹角为(0).，根据空间两条直线所成角的定义，可知与的关系是

(0)2

()2于是得coscos

当ab时，0,0或，当ab时，0,

2、空间直线与平面所成的角

2。当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为(02)，d是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，d与n的夹角为，那么与有如下关系：

(0)22 ()22当l或l时0,于是有sincos。三．学习应用

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。例2：讨论完成引例

例3：四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos四．创新发展

例4：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？ 五．课堂小结：

利用空间向量处理立体几何的问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算，有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受，降低了立体几何学习的难度，有利于丰富我们的思维结构，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。

六、课后作业

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。

D1A1B1C12;，当l时，2,0.1010，求直线DE与平面BCD所成角的大小。

（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；

D EAFBC（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。

2、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。

（1）证明：直线AC直线BD；（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果

反三角表示）。

3、四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos

CBEAD1010，求DE与平面BCD所成角的大小。

4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？

A1D1B1C1DABC