人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (24)_高中数学平面向量教案

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第二十五教时

教材：复习四——平面向量的数量积及运算律

目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平

行、垂直等问题。

过程：

一、复习：

1．定义、其结果是一个数量。

2．a•b>00≤

二、例题：

1．已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60，求 |a + b |

解：a•b = |a||b|cos60 = 5×8×

1= 20

∴|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129

∴|a + b | =

2．求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos

≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| =(|a| + |b|)2

即：|a + b |≤|a| + |b|

3．设非零向量a、b、c、d，满足d =(a•c)b (a•b)c，求证：ad

证：内积a•c与a•b均为实数，∴a•d = a•[(a•c)b (a•b)c] = a•[(a•c)b]  a•[(a•b)c]

=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)= 0

∴ad

4．已知非零向量a、b，满足a ±b，求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a| = |b| 证：由题设：ba与a+b均为非零向量

必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b)= 0

又：(ba)(a+b)= b2  a2 = |b|2  |a|2∴|b|2  |a|2 = 0即：|a| = |b|

充分性：设|a| = |b|，则(ba)(a+b)= b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0

即：(ba)(a+b)= 0∴(ba)(a+b)

5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(a + 3b)(7a  5b)= 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a  4b)(7a  2b)= 0  7a2  30ab + 8b2 = 0②两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =abb21

|a||b|2|b|2

2

∴ = 60

D

6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设== a , == b A

C

a

∵ABCD为菱形∴|a| = |b|

b B

∴ACBD=(b + a)(b  a)= b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0∴

7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，A

= a, = b, = h,E

F

则BH= h  a , CH= h  b , BC= b  aH

∵BHAC,CHAB B

D

C

∴

(ha)b0

(ha)a0

(ha)b(hb)ah(ba)0

∴AH

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点

三、作业：《导学•创新》§5.6