人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (13)_高中数学平面向量教案

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第十三教时

教材：平面向量的数量积的坐标表示

目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：

一、复习：

1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：

二、课题：平面两向量数量积的坐标表示

1．设a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0 2．推导坐标公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴ab =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2= x1x2 + y1y2

从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2

例

一、设a =(5, 7)，b =(6, 4)，求ab

解：ab = 5×(6)+(7)×(4)= 30 + 28 = 2 3．长度、角度、垂直的坐标表示

1a =(x, y)|a|2 = x2 + y2|a| =x2y2

2若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，则=(x1x2)2(y1y22)

3 cos =

ab

x1x2y1y2|a||b|

x

21y1

x2

y2

4∵ab  ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。

证：∵=(21, 32)=(1, 1),=(21, 52)=(3, 3)∴=1×(3)+ 1×3 = 0∴

∴△ABC是直角三角形

三、补充例题：处理《教学与测试》P153第73课

例

三、已知a =(3, 1)，b =(1, 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x。解：设x =(t, s)，由xa = 9  3t  s = 9由xa = 9  3t  s = 9t =

2s = 3∴x =(2, 3)

例

四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标。

B

A

解：设B点坐标(x, y)，则=(x, y)，=(x5, y2)O∵∴x(x5)+ y(y2)= 0即：x2 + y2 5x  2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x5)2 +(y2)2即：10x + 4y = 29

由xy5x2y0x73110x4y292x或2327



y12y2

2∴B点坐标(72,32)或(32,7)；=(32,7732)或(2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。

解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =

3当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB=(12, k3)=(1, k3)

∴2×(1)+3×(k3)= 0∴k =

113

当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3)= 0∴k =32

四、小结：两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示

五、作业： P121练习及习题5.7

《教学与测试》P1545、6、7、8，思考题