高中数学 2.2.5《导数的几何意义》教案 北师大版选修22_北师大版高中数学教案

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第五课时 导数的几何意义

（一）一、教学目标：

1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

2、理解曲线在一点的切线的概念；

3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义

教学难点：求简单函数在某点出的切线方程

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程

（一）、复习：导数的概念及求法。

（二）、探究新课

设函数yf(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为

y，如右图所示，x它是过A（x0，f(x0)）和B（x0＋Δx，f(x0x)）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线yf(x)在点A处的一条割线。

如右图所示，设函数yf(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线yf(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线yf(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线。该切线的斜率就是函数yf(x)在x0处的导数f(x0)。

函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1、导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即 f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标;

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②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k，得到曲线在点

x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.2、导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即: f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

3、函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。

例

1、已知函数yf(x)x，x0＝－2。

（1）分别对Δx=2，1，0.5求yx在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，f(x0)）的相应割线；

（2）求函数yx在x0＝－2处的导数，并画出曲线yx在点（－2，4）处的切线。解：（1）Δx=2，1，0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。2222yx2在这些区间上的平均变化率分别为

f(0)f(2)02(2)22，22f(1)f(2)(1)2(2)23，11f(1.5)f(2)(1.5)2(2)23.5.0.50.5其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）

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和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3.（2）yx2在区间[-2，-2＋Δx]上的平均变化率为

(2x)2(2)24x(x)24x.xx令Δx趋于0，知函数yx2在x0＝－2处的导数为-4。曲线yx2在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。例

2、求函数yf(x)2x3在x=1处的切线方程。解：先求y2x3在x=1处的导数：

f(1x)f(1)2(1x)3213xx213x3(x)2(x)32 x66x2(x)2令Δx趋于0，知函数y2x3在x=1处的导数为f(1)6。

这样，函数y2x3在点（1，f(1)）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6.因此切线方程为 y-2=6(x-1).即 y=6x-4.切线如图所示。

（三）、小结：函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

（四）、练习：课本P37练习：

1、2.（五）、作业：课本P37习题2-2中A组4、5

五、教后反思：

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专心 3

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