张量分析总结_张量总结

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中国矿业大学《张量分析》课程总结报告

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一、知识总结张量概念

1.1 指标记法

哑标和自由指标的定义及性质

自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：

A11x1A12x2A13x3B1

A21x1A22x2A23x3B2 A31x1A32x2A33x3B3式(1.1)可简单的表示为下式：

(1.1)

AijxjBi

(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2 Kronecker符号

定义ij为：

ij1,ij

0,ij(1.3)ij的矩阵形式为：

100ij010

001(1.4)可知ijijiijj3。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：

ijjkik

ijjkklil(1.5)

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ij的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号

为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：

1,i,j,k为偶排列lijk1,i,j,k为奇排列

0,其余情况(1.6)

图1.1 i,j,k排列图

lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换

图1.2 坐标转换

如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。有错误！未指定书签。

ei'在ei下进行分解：ei'i'1e1i'2e2i'3e3i'jej 错误！未指定书签。

'''错误！未指定书签。ej在ei'下进行分解：ej1'je12'je23'je3i'jei' 错误！未指定书签。

其中，i'jcos(ei',ej)ei'ejejei' 错误！未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：

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rxieirxjej rrr0(1.7)其中r0为上图中坐标原点的位移矢量。

将r'向新坐标轴错误！未指定书签。投影的矢量的分量：

'''r'ei'xkekei'xkkixi''''即(r0'r)ei'(xk)0ekei'xjejei'(xk)0kixji'j(xi')0xji'j'

由此得新坐标用老坐标表示的公式：

xi(xi)0xjij

错误！未指定书签。

(1.8)类似地，将i向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：

xj(x'j)0xi'ij(1.9)错误！未指定书签。错误！未指定书签。

'特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时(xi)00，错误！未指定书签。上两式的矩阵形式为：

x'x(1.10)错误！未指定书签。错误！未指定书签错误！未指定书签。T1''xxx，是正交矩阵，由上可知，I错误！未指定书签。则i'j1。

T综合以上可知：

ei'e'ji'lelj'keki'lj'klki'kj'k i'kj'ki'j'(1.11)错误！未指定书签。''eieji'j'同理，可推出：k'ik'jij

将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，错误！未指定书签。； 将新坐

'标到老坐标的坐标转换称为正转换，xjxj(xi)

xi'xi'dxdxj错误！未指定书签。，其中错误！未指定书签。错误！未

xjxj'ixi'指定书签。为常数，错误！未指定书签。称J为雅克比行列式。若J处处

xjxi'xj不为0，则说明存在相应的逆变化，即：i'j错误！未指定书签。xjxi'

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1.5 张量的分量坐标转换规律

1.5.1 一阶张量

一阶张量在新老坐标系中的分解为：

其中：

则：

得到：

同理：

得：

aaieiajej

(1.12)

ejijei

(1.13)

aaieiajijei

(1.14)

aiajij

(1.15)

eiijej

(1.16)

ajijai

(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2 二阶张量

定义eiej为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：

eiijej eeijij可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：

(1.18)

又：

记：

eiejimjnemen eeeeimjnijmnabaieibjejaieibjej

(1.19)错误！未指定书签。

(1.20)错误！未指定书签。

aibj 错误！未指定书签。Bijaibj错误！未指定书签。，Bij则：

(1.21)

eiej abBijeiejBij(1.22)错误！未指定书签。

该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：

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eiej BBijeiejBij(1.23)错误！未指定书签。

将式(1.13)错误！未指定书签。代入错误！未指定书签。上式可得：

imjnBmnBij BBimjnijmn此分量转换可进一步推广到高阶张量。

张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。

(1.24)2 张量的代数运算

2.1 张量的加减

假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为AB(AB)，例如：

ABAijBij

(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2 标量与张量的积

张量A，标量λ，若BA，则：

2.3 张量的并积

两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。

式(1.10)中：

BijAij

(2.2)

AAijkeiejek BBlmelem

(2.3)(2.4)(2.5)

CABCijklmeiejekelem

CijklmAijkBlm

(2.6)2.4 张量的缩并

若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。错误！未指定书签。，有AijiBj错误！未指定书签。取不同基矢量点积，缩并结果不同。2.5 张量的点积

两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：

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其中，2.6 指标的转换

AAijkeiejek BBljelej 错误！未指定书签。

(2.7)(2.8)(2.9)

AijkBljCikl

(2.10)对于张量AAijkeiejek，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：

AjikeiejekBijkeiejek

指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：

(2.11)

AijkejeiekAjikeiejekBijkeiejek

(2.12)错误！未指定书签。2.7 张量的商法则

张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式TSU成立错误！未指定书签。，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。二阶张量

二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。3.1 二阶张量的矩阵

(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：

T11T12T13TTTTT212223ijT31T32T33

(3.1)

二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。

(2)二阶张量T的转置张量TT为：

(3)二阶张量的行列式

TT(TT)ijgigjTjigigj

(3.2)

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二阶张量对应的矩阵具有行列式值：detTdetTij

由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等detTdetTT

(4)二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算

张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。3.2 几种特殊的张量 3.2.1零二阶张量

零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。零二阶张量对应的矩阵为：

000000O000 Ou0

式中，左端的O是零二阶张量，右端的0为零矢量。

(3.3)

(3.4)3.2.2 度量（单位）张量G 错误！未指定书签。

度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：

Guu

(3.5)(3.6)(3.7)度量张量与任意二阶张量的点积仍为该张量本身，即：

TGTTG

因此，有些书中将度量张量记作I或1。3.2.3球形张量

主对角分量为α，其余分量为零的二阶张量称为球形张量。它是数α与单位张量的数积，即：

3.2.4转置张量

二阶张量错误！未指定书签。由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得的新张量BBjieiej称为张量B的转置张量。若同时转换二阶张量B的分量指标和基矢顺序，结果仍为B。三阶张量错误！未指定书签。有三种不同的转置张量，任意对换i，j，k得到：

错误！未指定书签。

SijGij

(3.8)

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B1BijkeiejekB2Bikjeiejek(3.9)

3.2.5对称张量与反对称张量

B3Bkjieiejek对称张量，转置张量等于其自身的张量：BB,BijBji。反对称张量，转置张量与其相反的张量：BB,BijBji错误！未指定书签。三维二阶对称

。张量的独立分量有6个，n维有错误！未指定书签。个。反对称张量的主对角分量为0。三维二阶反对称张量的独立分量有3个，n维有错误！未指定书签。个。

任意二阶张量B可以分解称为对称张量S和反对称张量A之和，即B=S+A 再有错误！未指定书签。，得：

1S(BB)2

1A(BB)2(3.10)

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