专接本《数学一》考试大纲及重点知识总结_专升本数学知识点总结

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考试内容与要求（数一）

一、内容概述与总要求

参加数学

（一）考试的考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》中行列式、矩阵、线性方程组的基本概念与基本理论；参加数学

二、考试形式与试卷结构

考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为60分钟。

考试包括选择题、填空题、计算题、解答题和证明题。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推理过程；计算题、解答题、证明题均应写出文字说明、演算步骤或推理过程。

选择题和填空题分值合计为46分。计算题、解答题和证明题分值合计为54分。数学

（一）中《高等数学》与《线性代数》试题的分值比例约为85：15。

一、函数、极限与连续

（一）函数 1．知识范围

函数的概念及表示方法 分段函数 函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题函数关系的建立

函数的概念：给定两个实数集D和M，若有对应法则

f,使对D内每一个数x，都有唯一的一个数yM

f:DM,xy与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作

数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记为f(x)。全体函数值的集合 f(D)yyf(x),xD(M)

称为函数f的值域。

函数的表示法：在中学课程里，我们已经知道函数的表示法主要有三种，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。

有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数。

设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个xD有

f(x)M，则称f为D上的有界函数。

设f为定义在D上的函数，若对任何x1,x2D，当x1x2时，总有

（i）f(x1)f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格增函数；

（ii）f(x1)f(x2)，则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个xD有

f(x)f(x)(f(x)f(x))，则称f为D上的奇（偶）函数。

从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称。设f为定义在数集D上的函数，若存在0，使得对一切xD有f(x)f(x)，则称f为周期函数，称为f的一个周期。

隐函数概念：设XR,YR,函数F：X×YR.对于方程

F(x,y)0（1）

若存在集合IX与JY，使得对于任何xI,恒有唯一确定的yJ，它与x一起满足方程（1），则称由方程（1）确定一个定义在I上，值域含于J的隐函数。

初等函数：常量函数 yc（c是常数）；

幂函数 yxa（a为实数）；

指数函数yax(a0,a1)；

对数函数 ylogax(a0,a1);

三角函数ysinx（正弦函数），ycosx（余弦函数），ytanx（正切函数），ycotx（余切函数）反三角函数

2．考试要求

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立实际问题中的函数关系式。

（2）了解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。（3）掌握基本初等函数的性质及其图形。（4）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。

（二）极限 1．知识范围

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左、右极限 极限的四则运算 无穷小无穷大 无穷小的变化

sinxx两个重要极限；limx011，lim1ex0x

数列极限设an为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N,使得当nN时有

nana，则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作

limanna或ana(n)，读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”。2.考核要求

（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε—N”、“ε—δ”、“ε—M”等形式的描述不作要求），理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系，了解自变量趋向于无穷大时函数极限存在的充分必要条件。（2）了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）的概念，会应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。

（4）掌握应用两个重要极限求极限的方法。

（三）函数的连续性 1．知识范围

函数连续的概念 函数的间断点 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值定理、零点存在定理）2．考核要求

（1）理解函数连续性概念 会判断分段函数在分段点的连续性。（2）会求函数的间断点

（3）了解闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值定理、零点存在定理），会用零点存在定理推正一些简单的命题。

（4）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解函数在一点连续和极限存在的关系，会应用函数的连续性求极限。

二、一元函数微分

（一）导数与微分 1．知识范围

导数与微分的概念 导数的几何意义与物理意义 函数的可导性与连续性的关系 平面、曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数与微分的四则运算 复合函数、隐函数以及参加方程确定的函数的微分法 高阶导数的概念 某些简单函数的n阶导数 微分运算法则一阶微分形式的小变性 2．考试要求

(1)理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系，会求分段函数在分段点处的导数。(2)会求平面曲线的切线方程与法线方程。

(3)掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。

(4)会求隐函数和由参数方程所求导法。

(5)了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

(6)掌握微分运算法则及一阶微分形式不变性，了解可微分与可导的关系，会求函数的微分。

（二）微分中值定理和导数的应用

1 拉格朗日定理和函数的单调性

一 罗尔定理与拉格朗日定理

（罗尔中值定理）若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间a,b上连续；

（ii）f在开区间a,b内可导；

（iii）f(a)f(b)，则在a,b内至少存在一点，使得

f`()0。

（拉格朗日中值定理）若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间a,b上连续；

（ii）f在开区间a,b内可导；

则在a,b内至少存在一点，使得

f(b)f(a)baf`()

（柯西中值定理）设函数f和g满足

（i）在a,b上都连续；（ii）在a,b内都可导；

（iii）f`(x)和g`(x)不同时为零；（iv）g(a)g(b)，则存在(a,b)，使得

f`()g`()f(b)f(a)g(b)g(a)

1.知识范围

罗尔Rolle中值定理 拉格朗日Lagrange中值定理 落必达L `Hospital法则 函数单调性的判定 函数极值及其求法 函数最大值、最小值的求法及简单应用 函数图形的凹凸性与拐点及其求法 函数图形的水平渐进线和铅直渐进线

2.考核要求

(1)理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及其几何意义，会用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明某些简单的不等式和证明某些方程根存在性。(2)掌握用落必达法则求 型未定式极限的方法。

(3)掌握利用导数判定函数单调性及求函数的单调区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。

(4)理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值、最小值的求法及其简单应用。

(5)会判断函数的凹凸性，会求函数图形的拐点。(6)会判断函数图形的水平渐进线和铅直渐进线。(7)会描绘简单号数的图形。

三、一元函数积分学

（一）不定积分 1.知识范围 原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 第一换元法（即凑微分法）第二换元法 分布积分法 简单有理函数、简单无理函数及三角函数有理式的积分 2.考核要求

(1)理解原函数与不定积分的概念。(2)理解不定积分的基本性质。(3)掌握不定积分的基本公式。

(4)掌握不定积分的第一换元法、第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）和分布积分法。

(5)会求简单有理函数的不定积分（分解定理不做要求），会求简单物理函数及三角函数有理式的积分。

（二）定积分 1.知识范围

定积分的概念及性质 变上限定积分及其导数 牛顿—莱不尼茨（Newton—Leibniz）公式 定积分的换元法和分布积分法 定积分的应用（平面图形的面积，旋转体的体积）无穷区间的广义积分的概念与计算 2.考核要求

(1)理解定积分的概念，理解定积分的基本性质。

(2)理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱不尼茨公式。

(3)掌握定积分的换元法和分布积分法，会证明一些简单的积分恒等式。(4)掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭图形绕坐标轴的旋转所成旋转体体积。

(5)了解无穷区间的广义积分概念，会计算无穷区间的广义积分。

四、向量代数与空间解析几何

（一）向量代数 1.知识范围 向量的概念 向量的坐标表示 方向余弦 单位向量 向量的线性运算 向量的数量积与向量积及其运算 两向量的夹角 两向量垂直、平行的充分必要条件 2.考核要求

(1)理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；了解单位向量、向量的模与方向余弦，向量在坐标轴上的投影。

(2)掌握向量的线性运算、数量积、向量积，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

（1）acaccos(a,c)x1x2y1y2z1z2

（2）ac的大小acacsin(a,c)，方向按右手系与a,c所在平面垂直。

iacx1x2jy1y2kz1 z2(3)掌握两向量平行、垂直的条件，会求向量的夹角。

（二）平面与直线 1.知识范围

平面点法式方程和一般式方程 点到平面的距离 空间直线的标准式（又称对称式或点向式）方程、一般式（又称交面式）方程和参数方程 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的条件和夹角 2.考核要求

(1)掌握平面的方程，会判定两平面平行、垂直或重合。

两平面的平行、垂直或交角，就是它们法向量的平行、垂直和相交。(2)会求点到平面的距离。

点M0(x0,y0,z0)与平面AxByCzD0间的距离为 dAx0By0Cz0DABC222

(3)掌握空间直线式的标准方程、一般式方程、参数方程。会判定两直线平行、垂直或重合。空间直线的方程

（1）标准式（对称式）：过点(x0,y0,z0)、方向向量为n(i,m,n)的直线方程为xx0iyy0mzz0n

xx1x1x2yy1y1y2zz1z1z2（2）两点式：过点(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)的直线方程为

A1xB1yC1zD0（3）一般式：（作为两平面的交线）

AxByCzD0222xx0lt（4）参数式：yy0mt

zznt0判定空间两直线（1）与（2）的相关位置的充要条件为 1 异面：

x2x1X1X2y2y1Y1Y2z2z1Z1Z20;2 相交：

X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2;3 平行：

X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2，(x2x1)(y2y1)(z2z1)重合： X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2(x2x1)(y2y1)(z2z1)

(4)会判定直线与平面间的位置关系（垂直、平行、斜交或直线在平面上）。

（三）曲面的方程 1.知识范围

曲面方程的概念 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面 常用的二次曲面 2.考核要求

(1)理解多元函数的概念。了解母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程及其图形。

(2)了解球面、椭球面、圆柱面、圆锥面和旋转抛物面等常用二次曲面的方程及其图形。

五、多元函数微分学 1.知识范围

多元函数的概念 二元函数的极限与连续的概念 偏导数、全微分的概念 权威费存在的必要条件与充分条件 二阶偏导数 复合函数、隐函数的求导法 偏导数的几何应用 多元函数的极值、条件函数的概念 多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法 2.考核要求

(1)理解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义和定义域。了解二元函数极限与连续概念（对计算不做要求）。

(2)理解偏导数的概念，了解全微分的概念和全微分存在的必要条件和充分条件。

(3)掌握二元初等函数的一、二阶偏导数的计算方法，会求全微分。如果函数f(x,y)在点(x,y)处的全增量zAxBy(x2y2)，则函数在该点可微分，且dzAxByAdxBdy称为f(x,y)的全微分。结论:函数f(x,y)在点(x,y)处：两个一阶偏导数都连续可微分偏导数存在。(4)掌握复合函数的一、二阶偏导数的计算方法（含抽象函数）。(5)掌握由方程 所确定的隐函数zz(x,y)的一阶、二阶偏导数的求法。(6)会求空间曲面的切平面方程和法线方程。

曲面F(x,y,z)0上一点M0(x0,y0,z0)处的法向量为(Fx,Fy,Fz)M;曲面

0zf(x,y)上一点M0(x0,y0,z0)处的法向量为(fx,fy,1)M0，由此可以用点法式、对称式分别写出曲面在点M0处的切平面和法线方程。

(7)会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求二元函数的最大值、最小值并会解一些简单的应用问题。多元函数的条件极值，拉格朗日乘数法

求函数uf(x,y,z)在约束条件(x,y,z)0下的极值：

构造拉格朗日函数F(x,y,z,)f(x,y,z)(x,y,z)； 分别对该函数的各自变量求导，并令各偏导数为零，得方程组

0Fxfxx0Fyfyy Ff0zzzF0解此方程组得到的(x0,y0,z0)就是可能的极值点；通过进一步的判断可以确定其是否为极值点。

六、多元函数积分学

（一）二重积分 1.知识范围 二重积分的概念及性质 二重积分的计算 二重积分的几何应用 2.考核要求

(1)理解二重积分的概念，了解其性质。

(2)掌握二重积分（直角坐标系、极坐标系）的计算方法。(3)会在直角坐标系内交换两次定积分的次序。(4)会用二重积分求空间曲面所围成立体的体积。

（二）曲线积分 1.知识范围

对坐标的平面曲线积分的概念和性质 对坐标的平面曲线积分的计算 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 2.考核要求

（1）.理解对坐标的平面曲线积分的概念及性质。（2）.掌握对坐标的曲线积分计算的方法。

（3）.掌握格林公式，会应用平面曲线积分与路径无关的条件。若函数P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

(DQxPy)dLPdxQdy

这里L为区域D的边界曲线，并取正方向。公式称为格林公式。

七、无穷级数

（一）常数项级数 1.知识范围

常数项级数收敛、发散的概念 收敛级数的和 级数收敛的基本性质和必要条件 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法 交错级数的莱不尼茨判别法 绝对收敛与条件收敛 2.考核要求·

（1）.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。理解级数的必要条件和基本性质。

（2）.掌握几何级数 的敛散性。

（3）.掌握调和级数 与 级数 的敛散性。

（4）.掌握正项级数的比值判别法，会用正项级数的比较判别法。

比较判别法：un，vn都是正项级数且unvn(nN)，则vn收敛n1n1n1un1n收敛；un发散n1v发散。

nn1比值判别法：un是正项级数，且limn1un1unnl，则l1时级数收敛；l1时级数发散；l1时级数可能收敛也可能发散。

（5）.会用莱不尼茨判别法判定交错级数收敛。

n1若交错级数(1)n1un(un0)满足unun1(nN)，un0n1，则级数收敛，且级数的和不超过u1。

（6）.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

若级数un收敛，则级数un绝对收敛；

n1n1若级数un发散而级数un收敛，称级数un条件收敛

n1n1n

1（二）幂级数 1.知识范围 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 幂级数在收敛区间内的基本性质 函数的马克劳林（Maclaurin）展开式 2.考核要求

（1）.了解幂级数的概念。

（2）.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（逐项求和，逐项求导与逐项积分）。

（3）.掌握幂级数的收敛半径、收敛域的方法（包括端点处的收敛性）。（4）.会运用的马克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x域（或）的幂级数。

八、常微分方程

（一）微分方程基本概念 1.知识范围

常微分方程的概念 微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解 2.考核要求

（1）了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。（2）会验证常微分方程的解、通解和特解。（3）会建立一些微分方程，解决简单的应用问题。

（二）一阶微分方程 1.知识范围

一阶可分离变量微分方程 一阶线性微分方程 2.考核要求

（1）掌握一阶可分离变量微分方程的解法。（2）会用公式法解一阶线性微分方程。

（三）二阶线性微分方程 1.知识范围

二阶线性微分方程解的性质和解的结构 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 2.考核要求

（1）了解二阶线性微分方程解的性质和解的结构。（2）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的形式，其中自由项限定为（a是常数，是n次多项式）或（a,b,A,B是常数），并会求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。九 线性代数 1.知识范围

行列式的概念 余子式和代数余子式 行列式的性质 行列式按一行（列）展开定理 克莱姆（Cramer）法则及推论 2.考核要求

（1）了解行列式的定义，理解行列式的性质。（2）理解行列式按一行（列）展开定理。（3）掌握计算行列式的基本方法。

（4）会用克莱姆法则及推论解线性方程组。

（二）矩阵 1.知识范围

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 矩阵的转置 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 方阵的行列式 方阵乘积的行列式 逆矩阵的概念 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 矩阵的秩 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵 2.考核要求

（1）了解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵和三角矩阵。（2）掌握矩阵的线性运算、乘法和矩阵的转置。（3）会用伴随矩阵法求二、三阶方阵的逆矩阵。

（4）理解矩阵秩的概念，会用初等变换法求矩阵的秩和逆矩阵，会用简单的矩阵方程。

（三）线性方程组 1.知识范围

向量的概念 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大无关组 向量组的秩与矩阵的秩的关系 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 用行初等变换求解线性方程组的方法 2.考核要求

（1）理解n维向量的概念，理解向量组线性相关与线性无关的定义，了解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念。（2）了解判别向量组的线性相关性的方法。

（3）会求齐次线性方程组的基础解系，会求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的一般解和通解。