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一元一次方程专题总结
本章的内容是等式和它的性质、方程和它的解、一元一次方程的解法及其应用。其中一元一次方程的解法及其应用是本章的主要内容。
[思想方法总结]
1．化归方法
所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它先进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。如本章解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程ax＝b(a≠0)，从而求出方程的解x＝。
2．分析法和综合法
分析法是从未知，看已知，逐步推向己知，即由果索因；综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因索果，研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合。列方程解应用题就是运用了这种分析和综合的思想方法。
3．方程思想方法
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用。
[学习方法总结]
如何检验一个数是否是某个方程的解，是必须掌握的最基本的技能技巧。
检验某个给定的数是否为某方程的解，只要将该数代入方程，看能否使方程左、右两边相等，这种方法是一种重要的数学思想方法和解题方法，今后我们在学习二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程、无理方程等方程中，都可以用这种方法检验一个数(或一对数)是否是某个方程(或方程组)的解。利用这种方法还可以检查所求的方程的解是否正确，从而检验自己的运算能力。
[注意事项总结]
1．通过本章的学习，可以体会到对于解方程和列方程解应用题，代数解法具有居高临下、省时省力的优点。所以，今后要从算术解法转到习惯于代数解法。
2．不要死记硬背例题题型和解法，而要努力学会分析问题的本领。为此要适当做一些与例题不同类的题，通过老师的指导，自己去进行分析并解决它们。
3．要注意检验求得的结果是不是方程的解，方程的解是不是符合应用题题意的解。如果方程有解，但这个解不符合应用题题意，我们就说这道应用题无解。一般说来，违背实际情况的应用题都是无解的。
4．在解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到)，这样往往可使计算简便。在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时易犯的错误。在整个初学阶段，最好把方程的解代入方程进行检验。
[综合题目举例]
例1．已知式子-2y-
分析：由-2y-+1的值是0，求式子的值。
+1的值是0，可得方程，从而求出y的值，再把y的值代入所求式子中即可。
解：由题意，得-2y-+1=0
解这个方程，得y=2, 当y=2时。
说明：本题是利用方程来解决求另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写出来。
例2．已知方程4x=-8的解也是关于x的方程x=1+k的解，求式子的值。
分析：从已知方程4x=-8中，求出x的值，把x的值代入x=1+k中，求出k的值，再把k的值代入所求式子中。
解：解方程 4x=-8, 得x=-2.把x=-2代入x=1+k, 得-2=1+k, k=-3.当k=-3时。
例3．有一列客车长190米，另有一列货车长290米。客车的速度与货车的速度比为5∶3，已知它们同向行驶时，两车交叉时间为1分钟，问它们相向行驶时，两车交叉的时间是多少?
分析：此题属于应用题中的难题，难在相等关系在题目中有一定的隐蔽性，不易找准，为充分弄清题意，我们按同向行驶和相向行驶两种过程来进行分析：
(1)同向行驶时，客车利用与货车交叉的时间(1分钟)赶超货车，这期间客车的车尾走了两个车长，实际上客车上的每一部分都走了两个车长，即客车走了(190+290)米。同向行牧时，两车的前进方向相同，所以速度应取两车的合成速度(速度之差)
相等关系是：路程＝速度×时间
(2)相向行驶时，两车对开，客车所走的路程仍是两个车长(190+290)米，但这时两车的合成速度是两车的速度之和。
相等关系是：路程＝速度×时间
按题目要求是求时间，所以
时间＝路程÷速度
解：设客车的速度是x米／分，则货车的速度是
根据题意，得
解这个方程，得x＝1200
x=720.(分)
x米／分，所以相向行驶时，两车交叉的时间为(190+290)÷(1200+720)=
答：两车相向行驶时，交叉的时间是15秒。
注意：
（1）所设未知数的单位名称是“米/分”，对列方程很有利。
（2）列出方程如写成x-
x=480就不合理了，这实际上是在方程中没有完整体现已知条件。
（3）题目中有两个相等关系，要注意区别，它们一个是用于列方程；另一个是用于列算式求时间的，所起的作用不同。
例4．一个六位数，如果它的前三位数与后三位数的数字完全相同，顺序也完全相同，求证：7、11、13必为此六位数的约数。
分析：要求证出六位数是7、11、13的约数，只要证出这个六位数是一个能被7、、11、13整除的数与一个整数的积即可。
证明：设该六位数为100000x+10000y+1000z+100x+10y+z
即为：1001(1000x+10y+z)
∵ 1001分别能被7、11、13整除，故该六位数也分别能被7、11、13整除。
例5．一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？
分析：此题是工程问题，题中没有给出总工作量，故看做整体1，题中叙述了开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，则有相等关系如下：
甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1。甲、乙、丙合作的工作量是()x，乙、丙合作的工作量是（）（6-x），由题意，得
（解得x=3.)x+()(6-x)=1
答：甲队实际工作了3小时。
注意：甲队实际工作的时间就是甲、乙、丙合作的时间，完成任务的时间是6小时，乙、丙合作就用了(6-x)小时。
综合检测题
（时 间：45分钟
满 分：100分）
一、填空题：（每小题4分）
1．当x=_______时，式子的值为0？
2．若x=1是方程 2x-a=7的解，则a=_______。
3．在等式3y-6=5两边同时
，得到3y=11。
4．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数为_______。
5．若3x:2=4:0.8，则x=_______。
6．某化肥厂第一季度和第二季度共生产化肥4300吨。已知第二季度比第一季度增长15%，则第一季度的产量是_______。
二、选择题：（每小题4分）（1）方程的解为（）。
A、0 B、1 C、2 D、-2（2）方程2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程，则m的值为（）
A、0 B、1 C、-2 D、-
（3）若使方程(m+2)x=n-1是关于x一元一次方程，则m取值是（）。
A、m≠-B、m≠0
C、m≠D、m>2（4）ax-b=0,(a≠0), a,b互为相反数，则x等于（）。
A、1 B、-1 C、-1和+1 D、任意有理数（5）ax-b=bx-a(a≠b)时x等于（）。
A、0 B、-1 C、+1 D、任意有理数（6）在下列方程中，解为x=2的是（）。
A、3x=x+3 B、-x+3=0 C、2x=6 D、5x-2=8（7）水结成冰体积增大
A、B、3，冰化成水体积减少（）。
C、3D、3（8）甲池有水xm，乙池有水ym，甲池每分钟流入乙池zm, n分钟两池水水量相等，则n等于（）。
A、B、C、D、（9）在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向出发跑，t分钟后第一次相遇,t等于（）。
A、10分
B、15分
C、20分
D、30分（10）在梯形面积公式S=(a+b)h中，已知S=24cm, a=3cm, h=6cm, 则b=()cm。
2A、1 B、5 C、3 D、4
三、解方程（每小题6分）
1.=1
2.(x-1)×30%-(x+2)×20%=2
3.2[1-(x-)]=3[
]
四、列方程解应用题：（每小题9分）
1．甲车在早上5时以每小时32千米的速度由A地向B地行驶，6时30分钟乙车才开始出发，结果在9时30分时乙车追上了甲车，问乙车的车速是多少？
2．一水池安有甲、乙、丙三个水管，甲独开12小时注满水池，乙独开8小时注满水池，丙独开24小时可排掉满池的水，如三管齐开多少小时后，刚好水池的水是满的？
答案：
一、1.解：由题意，得
=0，解方程得x=。
2．分析：因为x=1是方程2x-a=7的解，所以x=1满足2x-a=7，把x=1代入2x-a=7，从而求得a的值。
解：把x=1代入2x-a=7中，∴ 2×1-a=7, ∴a=-5。
3．分析：根据等式的基本性质1，加上6。
4．分析：因为2∶3∶7是三个数的比，所以可设每份为x。
解：设每份为x，则三个数分别为2x, 3x,7x,2x+3x+7x=144, 解得 x=12。
∴ 2x=24, 3x=36, 7x=84，∴ 这三个数为24，36，84。
5．分析：根据内项之积等于外项之积，得关于x的一元一次方程，即2.4x=9, x=。
6．分析：设第一季节产量是x吨，第二季节(1+15%)x吨，第一季度产量+第二季度产量=4300。
解：设第一季度产量是x吨，x+(1+15%)x=4300 x=4300
x=2000。∴第一季节的产量是2000吨。
二、（1）解：去分母，得3x-2(x-1)=3
3x-2x+2=3
x=1, 选B。
（2）分析：因为2m+x=1①和3x-1=2x+1②是同解方程，所以②的解x=2满足①，∴2m+2=1, m=-,选D。
（3）分析：根据一元一次方程概念ax=b(a≠0),所以m+2≠0, ∴m≠-2，选A。
（4）分析：由a,b互为相反数，可得a=-b。
ax-b=0, ax=b, x=, x=
=-1, 选B。
（5）解：ax-b=bx-a
ax-bx=b-a
(a-b)x=-(a-b), x=-1，选B。
（6）解：把x=2分别代入每个方程进行检验，选D。
（7）分析：1升水结成冰后，体积增大
升，此时冰的体积为(1+)升（把1升水的升，故体积减体积看作整体1），设1升冰化为水后为x升，则1:(1+)=x:1，解得x= 少为1-=升，故选C。
（8）分析：甲池有水xm, n分流出nzm，n分后甲池剩水(x-nz)m, 同样，n分钟后乙池水为(y+nz)m。
相等关系为：n分钟两池水量相等。
解：依题意，得x-nz=y+nz
解得 n=, 选C。3
（9）分析：由两人同时同地同向出发跑，七分钟后第一次相遇可得：甲t分钟跑的路程一乙t分钟跑的路程=800
解：依题意得320t-280t=800
解得 t=20分，故选C。
（10）分析：把S,a, h的值代入公式S=
解：依题意，得24=
三、解方程
1．解：去分母，得 2(2y-5)+3(3-y)=12
去括号，得4y-10+9-3y=12,移项，合并，得y=13。
2．解：(x-1)×
-(x+2)×
=2,(a+b)h中，求出b的值。
(3+b)×6，解得 b=5，选B。
去分母，得30(x-1)-20(x+2)=200
去括号，30x-20-20x-40=200,移项，合并，得10x=270, ∴ x=27。
3．解：去中括号，得2-
去小括号，得2-,(x-)=
(2x-)
去分母，得 36-12x+4(x+1)=9x-54x+90-63x
100x=50
x=。
四、列方程解应用题
1.甲车5时出发，乙车6时30分出发，说明甲车先走了1
小时；结果在9时30分乙车追上甲车，说明乙出发3小时后追上甲车，若设乙车的速度为x千米/时，则乙行驶的路程为3x千米，甲车先走1 小时的路程为1
×32千米，乙出发后，甲车走的路程为3×32千米。此题相等关系为：甲1（如图）。小时的路程+甲3小时的路程=乙3小时的路程
解：设乙车的速度为x千米/时，依题意，得
1×32+3×32=3x。解得x=48。
答：乙车的速度为48千米/时。
2．分析：若把满池水看作总工作量1，则甲的工作效率为 关系为：注入的水一排掉的水=1。
解：设三管齐开x小时后，刚了水池的水是满的依题意，得，乙为，丙为，相等 , 解得x=6。
答：三管齐开6小时后，刚好水池的水是满的。
