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管道切片的三维构建论文心得
-这次数学建模历年题型讲课准备中我们组讲的是2001年A题，管道切片的三维构建，通过在网络上搜索大量的优秀论文，随后进一步确定了主讲论文。最终选取河海大学的论文，该论文最大的优点在于它的模型建立，方法确立，相对而言是最通俗易懂的，文章篇幅不大，思路清晰，便于学习者进一步去验证，论文前后图文并茂，繁琐的公式较少，这点相对其他论文有一定优势。该模型在建立时，参赛成员充分考虑了模型当中计算机处理图形时存在的系统误差，并在模型二中用离散方法求解时，用通用Bresenham算法计算出某一给定圆的边界坐标点，判断其是否含于切片中。用这种方法处理象素文件可以克服由原实际图象转换到BMP数据图象的系统误差，这是该论文的最大亮点，而该论文的缺陷在于计算精度不高，一般都是取整，而其他论文做的比较好。此次学习本文的大致讲解如下：
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。题目中还有100张管道的平行切片图像，记录了管道与切片的交。宽、高均为512个象素（pixel）。
为了简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
一、主讲论文摘要：
文中证明了所有切片含有过轴心的大圆，该大圆直径一定与切片边界相交。通过构造连续型模型和离散型模型，从0.BMP中定出轴心为(0，160)和半径为30的最大圆，并相继在其它切片中运用最大圆必包含在切片中的先决条件，找出相应切片中所有可能的轴心坐标，进一步对每一切片待选的轴心坐标，根据其球体必在上29～下29层切片中存在相应半径的圆(在上下29层中存在半径为7.68，在24层存在半径为18的该球体的相应的截面圈)的特征，筛选上述待选轴心坐标，比较准确地定出了0到70层的轴心坐标对于71至99层由于上29层的信息不全，还存在不少待选点，再应用切片尖端特性(在70层左下角的点只能由半径较小的圆包络而成，由此定出99层的轴心坐标)确定其余切片的轴心坐标绘制出的三维图形和各坐标面的投影图是光滑流畅的，最后文中用所得轴心坐标重新构造各切片，与原切片比较，相异象索点误差不足3％，结果令人满意。
二、A题的背景
超声断层等为现代医学无损检测提供了强有力的诊断手段，它们在切片图象获得后，不会造成生物体本质性破坏，已成为获取断层图象序列最重要的诊断手段。
序列图象的计算机三维重建，需要综合运用图象处理、图形学、计算机辅助几何设计等多学科的方法建立了反映生物体内部结构的几何模型或数学模型。
血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重要性是众所周知，诊断师在临床中经常需要了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学模型是图象三维重建的重要一环。
三、A题的立意
（一）前沿性 血管三维重建的问题是从序列图象的计算机三维重建这一研究前沿课题中选题。曲面重建方法很多，其中一种重要方法是序列图象三维重建，它在一簇等间距的平行平面与曲面的横断线面上采样，然后运用织网、蒙皮等技术进行建模。
（二）交叉性 完成A题需要综合运用多学科知识，进行学科交叉；要运用图象处理的方法获得数据，要运用图形学的算法确定内切球，进而重建血管的三维结构；要运用数学方法建模与检验。
（三）对照性 建立血管的数学模型，只完成了问题的一半，还应该设法说明所建模型的正确性。可重新生成切片图象与给定的切片图象作比较，或用球沿中轴线滚动等方法来表明自己结果的合理性。
四、问题分析 由于一张切片的厚度为1mm，故切片中轴线可做近似化处理，用一条线段代替。有题目给的100张切片信息，可求得球的半径，并可以求得中轴线与每片切片的交点坐标，再用这些交点坐标，求出切片之间的中轴线方程，最后再依次连接起来，即得所求空间曲线。
五、模型的建立与求解
模型一 寻找球体半径的算法：
每个被截的球体在切片上的投影均是圆，在这些圆中过球心的圆的半径最大。图象的边界是由这些大大小小的圆包络而形成的。以第50张切片为例，以minZ，maxX，minY，maxY为边界作矩形区域D，在D的内部运行搜索如果遇到一个值为0的点，再搜索其四邻域的点，如果四邻域内所有象素点所对应的值为0，则该点一定是边界区域所包围内部图形的点，称之为内点。设内点为A，以其为圆心作一个半径为R的圆(尺可以从零开始递增)，如果边界上所有的点都不落在该圆内，记录下圆心的坐标，并继续增加半径R直到有一部分边界的点落入圆内为止。最后寻找半径最大的圆(该圆必与边缘相切)，与边缘相切的最大圆即是过球心的最大圆。
模型二
对0.BMP所对应的切面，沿X轴方向在其内部取定坐标(这里选用所给的象素坐标，即几何坐标位置理解为象素坐标的中心)。用通用Bresenham算法计算出某一给定圆的边界坐标点，判断其是否含于切片中。根据电脑画图的特点，这里选用的半径、坐标都为整数.用这种方法处理象素文件可以克服由原实际图象转换BMP数据图象的系统误差。求出所有最大圆的圆心坐标，找出最大半径R。对0.BMP到99．BMP均有多个待选轴心坐标，在第z层中，以待选轴心坐标所作的球体被上下i(i=1～29)张切片所截的小圆应在第z±i张切片中，若有任意一张切片所截的小圆不在第Z±i张切片中，则该待选轴心坐标不可能是最优圆的轴心坐标。运用matlab软件作图即可得到轴线在XY平面上的投影、图轴线在YZ平面上的投影图、轴线在ZX平面上的投影图。
六、模型评价 A题建模工作的关键在于发现：在一条粗细均匀血管的任何横断面的图象内，其包含的最大内切圆的圆心位于中轴线l上，该圆的半径等于滚动球的半径r。网上资料反映出很多参赛者都在适当的条件下证明了这一几何事实，并以此作为算法设计和模型构造的理论基础。
七、优秀论文的比较、归纳与总结
求解半径的方法：
（一）叠加法 我们认为北京大学这篇论文的最大优势是将0.bmp到99.bmp的图片叠加且相应像素进行运算得血管的叠加图。它代表了待求血管在X—Y平面上的投影的形状。我们不难看出，除去这一“弯月”的两端之外，这一图形的宽度是保持不变的，这一宽度就是我们所要求的球的直径2R，用MathCAD2000画出了它的立体图，并且做出了它的切片，速度比较快，但是技术含量要求比较高。
（二）抽样法 由于已知滚动球半径是常数，我们在研究学习本论文时发现本文的优势在于直接取前几片横断面图象内的最大内切圆半径的平均值为所求球的半径R。
（三）极大似然法 我们在研究中国科技大学的论文时发现他们在求得每一片横断面图象内的最大内切圆半径后，进行统计，以出现频率最大的值为R的值。论文当中运用统计的方法，这是论文的亮点，然后求出每张横断面图象内的最大内切圆半径，再取r为它们的算术平均值。
中轴线的建模:
（一）枚举法 在本篇论文中采用的是此方法，求每张横断面的图象内的最大内切圆的圆心时，以位于图象内每一个象素为圆心作圆，遍历所有象素点后再作确定。此种方法优点是，思想简单，程序简单，但缺点是计算量大。
（二）平行切线法 苏州大学的特色是判断横断面的图象边界上的两点的连线如果同时垂直边界在这两点处的切线，则这两点连线有可能是最大内切圆的直径。发现所有具有这样性质的点对，并检验之，以确定最大内切圆的圆心。
（三）外推法 利用中轴线的连续性，采用插值外推方法，根据前几片已求得的最大内切圆心位置，推断出新的一片图象包含最大内切圆心的估计位置，然后经过几次迭代求得较正确的圆心位置。
（四）滚球法 浙江工业大学论文的亮点也是先绘制三维立体图，然后让球在血管内滚动，保证球与血管相内切，逐个横断面地定出球心的位置。
（五）投影法 将各横断面的图象叠加在xy平面上，形成血管在xy平面上的投影，其中心线是血管中轴线l在xy平面上的投影。类似地将血管向xz平面（或yz平面）投影，也可以求得中轴线l在xz平面（或yz平面）的投影。
（六）变换法 北京大学的亮点是将横断面图象包含的最大内切圆位置可以理解为图象与固定半径为r的圆的交的面积达到最大值时圆的位置，这可以通过几何方法实现，也可以将其理解为图象的与半径r的圆的卷积达到最大值时的情况，可以运用傅里埃变换及其逆变换计算卷积，特别可以运用快速傅里埃变换的方法。（相关操作，所谓相关操作是指利用两函数f(x，y)、g(x,y)作相关积分时的特性，在样品图样中定位某种模版图样的位置方法。x轴的方向与题意要求是相反的。）
（七）细化法 浙江工业大学的论文将100张血管的横断面图象按其空间位置固定，将其理解为三维空间中的图象，然后利用图象的细化软件作处理，求得中轴线。其余方法就不再一一列举了。以上的方法各有千秋，各在特色。在求得中轴线与各横断面的交点的近似位置后，很多参赛者采用多项式的参数曲线进行拟合逼近，也有的采用参数样条曲线进行拟合，这些方法都是可行的。
八、检验的主要方法
（一）逐片比较 运用求得的滚动球的半径r和中轴线l，用球心沿l运动的方法产生一簇球面，其包络面生成一段新的血管。用原来100张的平面截新的血管，生成新的100张横断面图象，逐一比较新、旧100张横截面图象之间的差别。若差别小，则认为满意，否则要修正模型，这样做的参赛者不少，只不过因时间关系没有100张全部比较。苏州大学直接用中轴线 的方程重建了三维血管，并求出了重建血管40个平面上的截面(30≤i≤69).并与原始截面“(30≤i≤69)进行比较，截面平均符合率高达96.8024%。｝
（二）法平面法 设p为中轴线l上任意点，过p点作的法平面与原血管相交，若该法平面与血管的交与半径为r的圆差别小，则认为是满意的，否则修正模型。
（三）滚动法 让固定半径为r的球的球心沿着中轴线l移动，取步长为t，每移动一步长，检查球与血管是否相切，若球能从的一端移到另一端时，每一步都保持与血管相切，则是满意，否则要修正模型。
（四）随机抽样法 浙江工业大学的论文检验方法比较独特，采用的蒙特卡罗法也就是随机实验试点法。它的基本思想是：在函数的可行域内随机地选取实验点，由于随机取得的点在区域中分配比较均匀，所以对函数的大致形态能较好的体现。
A题是应该检验的，不检验只能说完成问题的一半。一方面，无论以何种方式建模，其过程都是近似计算，几经近似，效果如何，检验很必要；另一方面各血管的横断面数据已知，按指定的空间位置放置，就能形成一段血管，完全可以作为检验的标准。
将检验作为建模的必要的一部分，通过检验，发现问题，修正模型的数据，可以使模型从粗糙到精致，克服建模过程中许多不确定因素。
九、此次论文讲述准备的收获
（一）通过学习历年的优秀论文，的确让我们开了眼界，感到了自己所掌握知识相当匮乏，无论是概念性的理论还是应用性的数学软件，对其理解和掌握程度距离真正的建模需求还相差甚远，还了解到我们组的弱势之处，我们组会尽快地努力学习相应的知识，取长补短。
（二）必须要学会利用网络、多利用网络，尽可能利用网络来查阅文献资料和交流信息，同时也要和同学多讨论交流，不能过于保守。
（三）本次论文学习之后我们三人之间分工更加明确，一人主攻模型建立，一人主攻程序调试，一人主攻论文写作，三个人分工明确不是互不 学习，只作本职，而是一个主次的关系，互相交流和互相学习还是十分重要的。
（四）通过此次学习不同的优秀论文，了解掌握了一些新的处理问题的方法技巧，以及论文写作时必须做到思路严谨、逻辑性要强、格式简洁明了、前后衔接得当，定义、定理、命题等的证明，公式的推导，算法的递推一定要有理可据。还有切不可在论文中出现错别字，公式编辑错误，论文格式错误等此类低级错误。
（五）解决一个数学建模问题，必须要清楚了解问题的背景知识，才方便模型的建立，例如病毒传播类、人口增长类模型的建立等。
（六）针对建模类的问题，除了常规的算法可以解决此问题外，一定要有自己的创新点，将创新理念包含进去，换位思考此问题，进一步增加论文的可读性，应用的广泛性。
