求极限方法小结(实用易懂)（材料）_求极限方法小结

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求极限的方法小结

极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：

一、利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。

11lim()3x11x1x例 1.lim(12n1)n2n2n2 2.n

二、利用两个重要极限

1sinx1xlim1,lim(1)elim(1x)xe.x0xxx两个重要极限为：或x0使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

1lim(1)kxx 例 1.x1lim(x32x1)x2 2.x

三、利用夹逼准则求极限 关键在于选用合适的不等式。

lim(n!)nn

nlim(na1am)n例 1.na1,,am}，且ak0(k1,2,,m)求n 2.设amax{/ 4

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

xa,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)例1.设a0，1

limxn求极限n。

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.x0 lim(1xsinx1sinsin(x1))lim2lnxex1 2.x0

六、利用函数连续性求极限

limf(x)f(x0)xf(x)x0设在点处连续，则x0。

4sinxx2limlnlim(cosx)x 2.n0例 1.x0

七、利用洛必达法则求极限

洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。

lim(cosxcos3x)x2

1例 1.x1sinx1cosxlim()nx 2.lnsint2tcott2 3.lim

八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限/ 4

(n)设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，且f(0)存在，则对该邻域内任意点x有如下表示式成立

f''(x)f(x)(0)nf(x)f(0)f(0)xx0(xn)2!n!'此式称为f(x)的具有皮亚诺余项的n阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。必须熟悉一些常用的展式，如：

x2xne1x0(xn)2!n!xx3x2n1n1sinxx(1)0(x2n)3!(2n1)!

2nx2nxcosx1(1)0(x2n1)2!(2n)!nx2n1xln(1x)x(1)0(xn)2n

11xx2xn0(xn)1x

计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。

cosxex4例 x0limx22

九、利用定积分定义及性质求极限

若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。

lim(12n1)n2n2n2

n例 1.n 2.nlim((n1)(n2)(nn))n

十、利用级数收敛的必要条件求极限/ 4 级数收敛的必要条件是：若级数n1unlimun0收敛，则n，故对某些极限，可将函数f(n)作为级数n1limf(n)0有n。nlimf(n)f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便n!n例 nn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

lim(11332n1)333 例 求n/ 4