高中必修15错误解题分析系列《11.1 数系的扩充与复数的概念》_数系的扩充与复数概念

高中必修15错误解题分析系列《11.1 数系的扩充与复数的概念》由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数系的扩充与复数概念”。

§11.1 数系的扩充与复数的概念

一、知识导学

1.复数：形如abi的数（a,bR），复数通常有小写字母z表示，即zabi,其

中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数abi(a,bR)中，当b0时，就是实数；除了实数以外的数，即当

b0时，abi叫做虚数；当a0,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，记作：

abi=cdi.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实

轴，y 轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=abi,则向量oz的长度叫做复数abi的模（或绝对值），记作

abi.(1)zabia2b2；(2)z1z2=z2z1；(3)z1z1； z2z

27．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析

1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小

2222．zR,则z0，而zC，则z0不一定成立，如zi时i10；

23．zR,zz2，而zC则zz2不一定成立；

24．若z1,z2,z3C,(z1z2)2(z2z3)20不一定能推出z1z2z3；

25．若z1,z2R，则z1z2=(z1z2)4z1z2，但若z1,z2C,则上式不

一定成立.三、经典例题导讲

[例1]两个共扼复数的差是（）

A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数

错解:当得到zz2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为zabi及zabi(a,bR)则zz2bi 或

zz2bi

当b0时，zz，zz为纯虚数

当b0时，zz0，zz0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确

(1)若zC, 则z0

(2)若z1,z2C,且z1z20，则z1z

2(3)若ab，则aibi

错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设zi则zi10 2

(2)错，反例设z12i，z21i，满足z1z210，但z1z2

不能比较大小.(3)错，ab，a,bR，故ai，bi都是虚数，不能比较大小.a2a6(a22a15)i是(1)实数； [例3]实数a分别取什么值时，复数za

3(2)虚数;(3)纯虚数.a2a6(a2)(a3)2解：实部，虚部a2a15(a3)(a5).a3a3

（1）当

（2）当

（3）当 时，z是实数；，且 或时，z是虚数；时是纯虚数． 2 [例4] 设z1(m2m3)(m4m3)i(mR),z253i，当m取何值时，(1)z1z2;(2)z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

2m2m35解：(1)由可得：2解之得m4，m4m33

即：当

(2)当 时 可得：

或，即 时z10.22[例5]z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12z1z2z20，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．

22分析本题起步的关键在于对条件4z1等式左边是关于z1,z2的二次2z1z2z20的处理．

齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z12z1z2z20（，不为零），得

z1

223i13iz2z284 z11cosisinz2233

即向量OP与向量OQ的夹角为，3

1|z2|，设|z1|r,|z2|2r，2在图中，POQ

3，又|z1|

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，．

四、典型习题导练

1.设复数z满足关系z|z|2i，那么z等于（）．

A．B．C．D．

2.复数系方程(1i)x2(1i)x26i0有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数的对应点位于第二象限．

4.已知f(z)zz且f(z)103i,求复数z

5.设复数z满足z5且(34i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，是(1)纯虚数；(2)在复平面上2zm52(mR),求z和m的值