《理论物理导论》心得[材料]_美术导论心得体会

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学习《理论物理》心得（第二周）简介

这篇心得是从第二周开始的，因为第一周没有去上课。

第二周老师讲了分析力学的核心内容：从最小作用量原理到哈密顿正则方程再到泊松括号，按老师的意思，这些工作都是为了以后能理解量子力学做准备。

作为一个数院人，我想说虽然这门课的思想是华丽的，但叙述却异常混乱。其中最令人感到惊讶的是随便给两个物理量A，B都可以有A的概念，另一个令人感到困惑的是对于B

的相关性的讨论——有时候他们被看作无关变量，有时候后者又被看作是前者的导q和q

的偏导时更是纠结到一起。数。这两种混乱在讨论一个物理A关于q和q

为此我试图在这篇心得中，构建一个在数学上不会使引起混乱和歧义的“分析力学”。一开始我会给出“力学系统”的定义。大家会看到我给出的定义是完全数学的——事实上我只是定义了这个系统在做数学演算时会用到的“数据结构”，而不是陷入令人混淆的文字解释中。

其次我定义了“轨迹”的概念。然后用完全数学的语言引入了某个“力学系统”的“物理轨迹”的概念。之后在众多“力学系统”中我选择了“牛顿系统”作更深入的讨论，直到证明“牛顿系统”的“物理轨迹”正是满足“牛顿第二定理”的轨迹。

届时大家可能会想，我所做的不过是把一般教课书中的“最小作用量原理”用另外一种语言叙述了一遍，所谓“系统”和“轨迹”的概念非常的多余。然而正是这些看似多余的概念严格的定义“物理量”和“物理量之间的偏导”的概念。在这些严格的数学概念下所谓的哈密顿正则方程也变的不再高深。最后引入的泊松括号也变的意义明显。

最后我讨论了一下泊松括号的内涵，并给出扩展泊松括号的概念。在这些对泊松括号的洞见下，一些泊松括号的代数性质也自然浮出水面。

力学系统的物理轨迹

定义：一个自由度为n的系统是指一个从R2n1到R的无限阶可微的函数L。

2n定义：一个自由度为n的轨迹是指一个从R映到R的函数：

(x))(q1(x),...,qn(x),q1(x),...,qn(x))(q(x),q

是两个无关的从R映到R的函数。任何两个n维多元实函数放要注意的是这里q和qn

在一起都可以叫做一个自由度为n的轨迹。比如一个不连续的q可以看作是一个发生了“瞬间转移”的轨迹。

)被称做运动轨迹当且仅当它们可微，且： 定义：一个轨迹(q,q

(1)

dqqdt

d:RRn,s.t.q(2)qqdt

的在是唯一的。称q为该轨迹的位矢，q为该轨迹的速度，q为不难看出上述定义中q

该轨迹的加速度。

)被称作n维系统L的物理轨迹当且仅当： 定义：一个n维轨迹(q,q

)是运动轨迹(1)(q,q

k)|qk(t1)qk(t2)0}k1..，如果(2)对任意t1和t2，和任意运动轨迹列{(qk,q

k(t))|0，则 limmax|(qk(t),qkt1tt2

limkt2t1(t)qk(t),t)dtL(q(t),q(t),t)dtL(q(t)qk(t),qt1

t1tt2t2k(t))|max|(qk(t),q0

这里实际上是把满足最小作用量原理的轨迹定义成了所谓的“物理轨迹”——使用严格极限语言，而不是变分语言。这样在数学推导中就不会遇到一开始所说的令人困惑的问题。同时要注意的是这样的定义暗示着“最小作用量原理”实际是“作用量极值”定理。

)是系统L的物理轨迹当且仅当 定理（拉格朗日）：一个运动轨迹(q,q

dLL(t),t)(q(t),q(t),t)0(q(t),qdtyx

证明：

limkt2t1(t)qk(t),t)dtL(q(t),q(t),t)dtL(q(t)qk(t),qt1

t1tt2t2k(t))|max|(qk(t),q

limkt2t1(t)qk(t),t)L(q(t),q(t),t)dtL(q(t)qk(t),q

t1tt2k(t))|max|(qk(t),q

limk



t2t1LL(t),t)qk(t)(t),t)qk(t)O(|qk(t),qk(t)|)dt(q(t),q(q(t),qxyk(t))|max|(qk(t),qt1tt2t2limkt1LLt2(t),t)qk(t)(t),t)qk(t)dt(q(t),q(q(t),qk(t)|)dtO(|qk(t),qxyt1limkmax|(q(t),qk(t))|k(t))|max|(qk(t),qkt1tt2t1tt2

t2

limkt1LdLdL(t),t)qk(t)[(q(t),q(t),t)qk(t)]qk(t)(t),t)dt(q(t),q(q(t),qxdtydtyk(t))|max|(qk(t),qt1tt2

limt2

kt1

t1t1tt2k(t)|)O(|qk(t),qdtk(t))|max|(qk(t),qlim[kt2qk(t)LdL(t),t)(t),t)](q(t),q(q(t),qdtxdtymax|(qk(t),qk(t))|t1tt2

t2L(t),t)qk(t)(q(t),qt2k(t)|)O(|qk(t),qylimdtt1kmax|(q(t),qk(t))|max|(qk(t),q(t))|kkt1tt2t1tt2

t1

lim[kt2t1qk(t)LdL(t),t)(t),t)](q(t),q(q(t),qdtk(t))|xdtymax|(qk(t),qt1tt2

)是系统L的物理轨迹等价于：故运动轨迹(q,q

k)|qk(t1)qk(t2)0}k1..，如果对任意t1和t2，和任意运动轨迹列{(qk,q

k(t))|0，则 limmax|(qk(t),qkt1tt2

lim[kt2t1

qk(t)LdL(t),t)(t),t)](q(t),q(q(t),qdt0k(t))|xdtymax|(qk(t),qt1tt2

用反证法不难证明它等价于（注意连续性）：

dLL(t),t)(q(t),q(t),t)0证毕。(q(t),qdtyx

为了简化记录并保证数学描述的准确性，下面我们定义“物理量”的概念，以及“物理量之间的偏微分”的概念。我们是使用的定义是归纳式的。

定义：一个物理量一般由四个元素组成的：1.它的生成轨迹2.它的生成量3.它的生成函数.4它的表现函数。具体如下：

)是轨迹，则亦称(q,q)是基础物理量。它的生成轨迹是(q,q)；它的表（1）若(q,q

(t))（R现函数是(q(t),q2n到R上的映射）。基础物理量没有生成量和生成函数的概念。

（2）称g是物理量若：

1.其生成量a是物理量或基础物理量。g的生成轨迹是a的生成轨迹。

2.存在正整数n，m，使得a的表现函数为a(t)将R映入R，g的表现函数g(t)将n

R映入Rm，且g的生成函数G(x,y)把RnR映到Rm。

3.g的表现函数为G(a(t),t)。

此时记g:G(a,t)，其表现函数为g(t)。

4.考察g的生成量的生成量的生成量。。通过有限步会遇到基础物理量。定义：若gG(a,t)是物理量，则引入三个物理量的运算：

gG(a,t)：=ax

gG(x,y)生成的。是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数ax(1)

(2)gG:(a,t)ty

gG是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数(x,y)生成的。ty

dggg:a'(t)dtat

dg上式的内涵是：是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数 dt

Gg(x,y)a'(y)(x,y)xz(3)

生成的。其中a'(t)是指a的表现函数的导数。

注意这里的:的含义。对两个物理量A,B，AB是指t,A(t)B(t)，也即这两个物理量的表现函数相同而A:B是指两个物理量的4个要素都相同。

于是重新叙述拉格朗日定理如下：

)是系统L的物理轨迹当且仅当 定理（拉格朗日）：一个运动轨迹(q,q

dll0 dtqq

)通过函数L(x,y,z)生成的物理量。,t)，也就是说l是基础物理量(q,q其中l:L(q,q

啊打到这里已经到下午了还要做好多事。。我明天继续补吧。。