数学归纳法证明不等式的本质1_数学归纳法证明不等式

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数学归纳法证明不等式的本质

成都外国语学校邓忠全

在近几年的高考中，有关不等式的综合证明题做为压轴题的非常多，其中相当一部分又是用数学归纳法证明的。但是，各种参考书或杂志在研究此类问题时，都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明，并落列了一些题解的过程，而没有深入探讨：数学归纳法证明不等式的本质是什么？什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式？又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题，转化为能用数学归纳法证明？，本文拟针对上述三个问题，进行分析研究。

数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题（本文不讨论）。凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)g(n)(nN)的形式或近似于上述形式。这种形式的关键步骤是由nk时，命题成立推导nk1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记左nf(k1)f(k)，右ng(k1)g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

上述四步中，两个“=”和“

已知an2n1，求证：an1a1a2nn(nN)23a2a3an12

本题要证后半节的关键是证

2k111 中k右k即证k2212

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k11 左k中k即证k2221

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)g(n)(nN)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)0,g(n)0是显然成立的。此时，可记

左kf(k1)g(k1)，右k f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由nk时，成立推导nk1成立，可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“

例2．求证n22n(n5)(k1)2

本题中左k，右k2 k2

左k右k(k5)是显然成立的，所以可以用数学归纳法。

例3．06江西高考最后一题的最后一问可以转化为： 11111(1)(12)(13)(1n)(nN)23333

1此题的左k1右k1k1 3求证：

左k右k不成立，不能用数学归纳法证明。

通过上述论述我们能清晰地知道哪时可用数学归纳法证明不等式，哪时不能用数学归纳法证明不等式，但我们还必须知道有些不能用数学归纳法证明的不等式，可以引入中间量改进为可用数学归纳法证明的不等式。下面先从理论上探讨。

命题：f(n)g(n)

若左k右k（左k右k）不成立时

可将命题f(n)g(n)改为

f(n)h(n)g(n)

其中左k中k（左k中k）成立，f(n)h(n)就可用数学归纳法证明，而h(n)g(n)很容易被其它方面证明，此时，改进就是成功的。

上述例3可改为证明

11111111123n(1)(12)(1n)23333333

其中前半节用等比求和易证，而后半节可用数学归纳法证明。