习题课4—中值定理、洛比塔法则、泰勒、不等式证明_不等式的证明习题课

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习题课4——中值定理、法则、泰勒、不等式证明

1、必达法则求下列极限.lntan7x（1）lim

x0lntan2x

（2）limxex2x2

xx12lim()lim(cosx)（3）

（4）

x1x1lnxx02e2xex（5）lim

x3ex2e2x2、lim{(aaa)/n}nxx1x11x11x21xn(ak0)（书后疑难）

1x21xn提示：limlnylimnx{ln(aaa)lnn}

xxttttln(a1ta2an)lnna1tlna1a2anlnanlimnlimnlna1a2an tttt0t0ta1a2an3、已知f(x)在(, )内可导，且limf(x)e，（Lagrange定理）

x lim(xxcx)lim[f(x)f(x1)]，求c的值。

xxc提示：lim(xxcx2C)lim(1)xxcxcxc2c2cxce2c，1。2f(x)x4、设函数f(x)具有二阶导数，f(0)0，f(0)1，f(0)2试求 limx0x25、① 设f(x)于`[0,)上有连续的一阶导数，且limf'(x)a，则limf(x)； 由Lagrange定理，有f(x)f(x1)f()，于是，e2ce，cxx ② 设f(x)于`[0,)上可微且limf'(x)0，则limxxf(x)0； xex1x36、泰勒公式求极限lim 6x0sinx3高等数学课程建设组 解:（方法1）limex3ex31x62x3x0sinx3xe3limex31xx63x0lim3xe2x33x25x06x

lim1x02x3lim3x06x21。2163166361xxo(x)1xxo(x)x3e1x12limlim2。（方法2）lim2x0sin6xx0x0x6x67、证明：不等式arcsinxarccosx2(1x1)

8、设f(x)在[a,b]上二阶可导, 且f(a)f(b)0, f(x)0, 证明在(a,b)内f(x)09、证明三次代数方程至少有一个实根；

10、证明xx10只有一个实根；

11、设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，令F(x)(xa)f(x)，证明在(ab),使F//()0.12、设f(x)于[a,b]上连续，(a,b)内可导，ba0，则存在(a,b)使5f(b)f(a)f'()lnb； a13、求证：harctanhh,(h0)。21h提示：arctanharctan0h 1

214、设limf(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x。

x0x证明：∵f(x)0，∴f(x)二阶可导，从而f(x)连续，∴f(0)limf(x)limx0f(x)f(x)f(0)f(x)x0，f(0)limlim1，x0x0xx0x0xf()2f()2xxx，介于0与x之间。2!2!由泰勒公式得f(x)f(0)f(0)x

∵f(x)0，∴f()0，∴f(x)x。

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