苏科院高数下应用、证明解析_苏科版七下数学证明练

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四、应用

x218、求曲面S:y

z

1到平面 :2x2yz50的最短距离。

分析：令L2x2yz5

Lx由Ly

LzL

0000

xz2

y1（4分）

42

得y

12,xz1故最短距离d

3x2y2z23x019、求曲线在点1,1,1处的切线和法平面方程。

2x3y5z40

分析：两边对x

dydz

2x2y2z30求导得dxdx

dydz2350

dxdx

故梯度为16,9,1（4分）

经计算知，过点1,1,1切线方程为

五、证明

x116



y19



z11

法平面方程为16x9yz24020、设f的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明：曲面faxbz,aycz0上任意一点处的切平面都与直线

xbycza

平行，其中a2b2c20。

'

'

'

'

证明：令Fx,y,zfaxbz,aycz（2分）则Fxaf1,Fyaf2,Fzbf1cf2（4分）

F

x,Fy,Fzb,c,a0（曲面切平面的法向量与直线方向向量数量积为0）