607.资料算术与几何平均一种证明_八年级几何证明含答案

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湖南省新宁县第一中学李水平专用教案第六章—不等式

资料1：算术平均值不小于几何平均数的一种证明(局部调整法)

结论：设a1，a2，a3，……，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1a2an,Ga1a2an，n

则有A≥G.当且仅当a1＝a2＝……＝an时，A＝G.特别地当n＝2时，ab≥ab 2

当n＝3时，abc≥abc.3

证明：用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0＜a1≤a2≤……≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，……，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：

① 两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么

A1＝Aa2a3an1a1anAA n

② 两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则

G1＝Aa2a3an1(a1anA)

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)

由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0

则 A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3……an－1(a1＋an－A)＞a1a2……an－1＋an.G1＞G.若第二组数全相等，则A1＝G1，于是A＝A1＝G1＞G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因为有b1＜A1＜bn且A1＝A.因而第二组数中的A，不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n－2次替换，新数中至少出现n－2个A，最多经过n－1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即G＜G1＜G2＜……＜Gk，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立.17