函数法证明不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“不等式证明函数最值法”。
函数法证明不等式
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0
证明0
证明an+1
3它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函数,f(0)
因为0
且an+1=an-sinan
(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1
证毕!
构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
【例1】证明不等式：≥(人教版教材p23T4)
证明：构造函数f(x)=(x≥0)
则f(x)==1-在上单调递增
∵f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|≥|a+b|
∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所证不等式正确。
点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：
p14第14题：已知c>a>b>0,求证:
p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：
p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a
二、利用分式函数的奇偶性证明不等式
【例2】证明不等式：(x≠0)
证明：构造函数f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。
当x>0时，
当x0,故f(x)=f(-x)
∴
三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式
【例3】已知|a|
∵|a|
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函数
∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)
∴f(1)
∴a+b+c。
