向量法证明三点共线的又一方法及应用_三点共线向量公式证明

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向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.原题 已知OBλOAμOC，其中λμ1.求证：A、B、C三点共线

思路：通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.证明：如图,由λμ1得λ1μ,则 OBλOAμOC(1μ)OAμOC

OBOAμ(OCOA)

ABμAC A、B、C三点共线.思考：1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；

2.反之也成立（证明略）：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质；

113.特别地，λμ时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，揭示了2

2中线OB的一个向量公式，应用广泛.应用举例

例1 如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN

用向量法证明：M、N、C三点共线.OAC 1BD.利

3C思路分析：选择点B，只须证明BNλBMμBC,且λμ1.A证明：由已知BDBABC，又点N在BD上，1BD，得 31111BNBD(BABC)BABC 3333

又点M是AB的中点，1

BMBA，即BA2BM 2且BNB

21BNBMBC 33

21而1 33

M、N、C三点共线.点评：证明过程比证明MNmMC简洁.BD例2如图，平行四边形OACB中，11OD与AB相交于E，BC，求证：.BEBA.3

4思路分析：可以借助向量知识，只须证明：

1BEBA，而BABOBC，又O、D、E三

4点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λμ1，使CBEλBOμBD，从而得到BE与BA的关系.O证明：由已知条件，BABOBC，又B、E、A三点共线，可设BEkBA，则

BEkBOkBC①

又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BEλBOμBD，且λμ1.1又BDBC 31BEλBOμBC

3根据①、②得 ②

1kkλ411λ，解得 kμ433λμ1μ41BEBA

41BEBA 4

点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.2