原创正弦定理证明_正弦定理证明

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1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=absinCacsinBbcsinA

两边同除以abc即得：

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aaCD2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC

由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB 则•+•=•

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴ac= sinAsinC

cbabc同理，若过C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况

:

⑴若A为锐角时: absinA无解absinA一解(直角)

bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解⑵若A为直角或钝角时: ab一解(锐角)