关于探索规律问题的一个猜想的证明_归纳猜想探索规律

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关于探索规律问题的一个猜想的证明

《中小学数学》（初中版）2009年第9期刊，《再循伽莫夫奇思妙想之迹》一文，笔者研读后，深有启发，特别是文中未证之猜想，颇感有趣，尝试证明，与大家共享.先摘录原文奇思妙想总结：

按正整数顺序排列的一列数：若后一项与前一项的差值为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足一次函数；若后一项与前一项的差值不为一列常数，再用新数列的后一项与前一项求差(即第二次求差)后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足二次函数；若第三次求差后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足三次函数；由此猜想，第n次求差后为一列常数，则这列数与顺序数的对应关系满足n次函数.下面以n次函数证明如下： 顺序数列：变量x表示，规律数列：变量y表示，设yf(x)anxnan1xn1a1xa0(其中n为正整数).记第一次操作，规律数列相邻两项后一项与前一项的差为f1(x)，第n次求差相邻两项后一项与前一项的差为fn(x)，则

f1(x)f(x1)f(x)

an[(x1)nxn]an1[(x1)n1xn1]a1[(x1)x]，1n12n2n1n22n3n1an(CnxCnxCn)an1(Cn1xCn1xCn1)a1，anCnx1n1b12xn2b13xn3b1(n2)xb1(n1)xb1n；

2为了说明方便且不失正确性，每次操作后，函数表达式除第一项外，其余各项系数简记为bij(i表示求差的次数，nj表示函数表达式中各项次数).11n2n32b23xb2(n2)xb2(n1)xb2n； f2(x)f1(x1)f1(x)anCnCn1xf3(x)f2(x1)f2(x)anCnCn1Cn2x111n3b34x1n4b3(n2)xb3(n1)xb3n；

2……

fn1(x)fn2(x1)fn2(x)anCnCn1Cn2C2xb(n1)n；

11111fn(x)fn1(x1)fn1(x)anCnCn1Cn2C2C1n!an111.到此，文中的猜想：若是n次函数，则n次求差后为一列常数n!an，n!an…….其中an为n次项系数，n!为n的阶乘.得到圆满证明.