高考数学试题(20)选修41几何证明选讲_高考数学几何证明选讲

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2013年全国高考数学试题分类解析——几何证明选讲

1.（北京理科第5题）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

1AD+AE=AB+BC+CA； ○

2AF·AG=AD·AE○③△AFB ～△ADG

其中正确结论的序号是

（A）①②（B）②③

（C）①③（D）①②③

解：（1）由切线长相等可得ADAEACCEABBDACCFABBF

2ABBCCA，故①正确；（2）由切割线定理有，ADAFAGADAE

2故②正确；（3）AEAGADABAD 选A

2.（广东理科）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB___________．

5由弦切角定理得PABACB，又BACAPB，则△PAB∽△ACB，则PBO 图4 PBAB2，ABPB

BC35，即ABABBC

3.（广东文科）（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥

CD，AB=4，CD=2.E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯

形ABEF与梯形EFCD的面积比为

解:由题意可知，E、F分别为AD、BC的中点，故它们的高相等，则

SABEF(ABEF)h

S7

EFCD

5

2(EFCD)h

4.（湖南理科）如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC,垂足为D, BE与AD相交与点F，则AF的长为

解析：由题可知，AOBEOC60，OAOB2,得ODBD

1,DF，又AD2

BDCD

3，所以AFADDF 5（辽宁理、文）

如图，A,B,C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED。

（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A,B,G,F四点共圆。

解:(1)ECED,EDCECD,因为A,B,C,D四点在同一圆上

EDCEBA,ECDEBA，所以CD//AB。

（2）由（1）知AEBE，EFEG,EFDEGC,FEDGEC 连接AF,BG，则EFA与EGB全等，故FAEGBE，又CD//AB

EDCECD，FABGBA，AFGGBA180

故A,B,G,F四点共圆。

6（天津理

12、文13）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E

是AB

延长线上一点，且DFCFAF:FB:BE4:2:1.若

CE与圆相切，则线段CE的长为__________.答案：

7解：设BEx，则BF2x,AF4x，由相交弦定理有CFDFBFFB 即8x2，所以x

7117

2，则BE，AE，由弦切角定理有CEBEAE

4222

所以CE

。2

7（全国课标理）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n,AD，AB的长是关于x的方程

C

x214xmn0的两个根.（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径.【解析】（I）连接DE，根据题意在ED

ADE和ACB中，ADEACB

EC

G ADABmnAEAC,即

ADAE

.又DAECAB,从而ACAB

因此ADEACB所以C,B,D,E四点共圆.（Ⅱ）m4,n6时，方程x14xmn0的两根为x12,x212.F

故AD2,AB12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C,B,D,E四点共圆，所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于A90，故GHAB,HFAC.HFAG5,DF

(122)5.2

故C,B,D,E

四点所在圆的半径为

8（陕西理）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AEBC，ACD90，且AB=6，AC=4，AD=12，则．

【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AEBC，所以∠AEB=ACD90，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以



ACAD

, AEAB

所以AE

ABAC6

42，在Rt△AEB

中，BE

AD12

【答案】

9（陕西文16）如图，∠B=∠D，AEBC，ACD90，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．

【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AEBC，所以∠AEB=ACD90，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以



ACADABAC64

2． ,所以AEAEABAD12

【答案】2

10（江苏）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1r2）．圆

O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上）．

求证：AB:AC为定值．

解：连接AO1并延长分别交两圆于E、D两点，连接BD,CE，因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在直线AD上，故AD,AE分别为两圆的直径，从而ABDACE90，所以BD//CE，于是

ABAD2r1r1

 ACAE2r2r2