不等式证明的基本方法 经典例题透析由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“基本不等式经典例题”。
经典例题透析
类型一：比较法证明不等式
1、用作差比较法证明下列不等式： ；
(a，b均为正数，且a≠b)
（1）
（2）
思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。
证明：
（1）
当且仅当a=b=c时等号成立，（2）
（当且仅当a=b=c取等号）.∵a>0, b>0, a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0,∴
∴
.，总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。
举一反三：
【变式1】证明下列不等式：
(1)a2+b2+2≥2(a+b)
(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)
(3)a2+b2≥ab+a+b-1
【答案】
（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0
∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）证法同（1）
（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0
∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1
【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2
【答案】
ax2+by2-(ax+by)2
=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：
(a，b均为正实数，且a≠b)，且a，b，c互不相等）
（1）
（2）（a，b，c∈
证明：
（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴
∴，∴
（2）证明：
不妨设a>b>c，则
∴
所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
举一反三：
【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2
∴
∴
∴
【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba
【答案】
∵a>0, b>0, ∴ aabb与abba均为正，∴，分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0
，当且仅当a=b等号成立，∴ aabb≥abba.类型二：综合法证明不等式
3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明：
法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc
∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)
∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。
举一反三：
【变式1】a , b, m∈R+，且a
【答案】
∵00, ∴am
∴am+ab
.∵b+m>0, ∴.【变式2】求证lg9·lg11
【答案】
∵lg9>0, lg11>0，∴
∴ , ∴lg9·lg11
，4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,∴ ,∴
举一反三：
（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）
【变式】x, y,z∈R+, 求证：
证明：∵ x, y,z∈R+,∴,同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2
5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：
证明：要证
只需证：
即证：
∵a>0，只需证a+b
∵已知上式成立，∴原不等式成立。
总结升华：
1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。
2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。
3．基本思路：执果索因
4.格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。
举一反三：
【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)
【答案】
要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)
∵a，b∈
，∴a+b>0 只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab 只需证(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0显然成立 所以原不等式成立。
【变式2】a , b, m∈R+，且a
【答案】
∵ b>0且b+m>0,.∴，∴
成立
∴.【变式3】求证：
【答案】
要证
只需证，而，只需证，只需证，显然成立，所以原不等式得证。
【变式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求证：logac+logbc≥4lgc
【答案】
要证logac+logbc≥4lgc，只需证
只需证，只需证
∵，∴成立
所以原不等式成立
【变式5】设x>0，y>0，x≠y，求证：
证明：要证
只需证，只需证
只需证
因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立
所以
类型四：反证法证明不等式
6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。
思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。
证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：„„①
又∵0
同理有：，以上三式相乘得，这与①矛盾，∴假设错误，原结论成立。
总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于
”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组
”，结构简单明了，成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。
举一反三：
【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0
【答案】
假设a≤0
若a0，∴bc
又由a+b+c>0，则b+c>-a>0
∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc
若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0
同理可证：b>0，c>0
类型五：放缩法证明不等式
7、若a,b,c,dR+，求证：
思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。
证明：记
∵a,b,c,dR+，∴
∴1
总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即
常用的放缩技巧主要有：
① f(x)为增函数，则f(x-1)
进行放缩。
② 分式放缩如
③ 根式放缩如
举一反三：；
【变式1】求证：
【答案】
∴
【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)
【答案】
∵n>2，∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0
∴
∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)
类型六：其他证明不等式的方法
1.构造函数法
8、已知a>2，b>2，求证：a+b
∵1-b
当a>2时，f(a)
∴a+b
总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。
举一反三：
【变式】已知a≥3，求证：
【答案】。
令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是递减函数，∴f(a-1)
故。
2、三角换元法：
9、求证： [0,π]，证明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos,则
∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求证：
证明：设
则
11、若x>1，y>1，求证：
证明：设
则
12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：
证明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设
则
总结升华：
①若0≤x≤1，则可令
②若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ
③若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ
④若x≥1，则可令，若xR，则可令
举一反三：
【变式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd
【答案】
∵x2=a2+b2，∴不妨设
∵y2=c2+d2，∴不妨设
∴
∴xy≥ac+bd
【变式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：
【答案】
由x>0,y>0，2x+y=1，可设
则
类型六：一题多证
13、若a>0，b>0，求证：
思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。
证明：
证法一：作差法
∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0
∴
证法二：作商法，得证。
∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得证。
证法三：分析法
要证，只需证a3+b3≥(a+b)ab
只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)
只需证a2-ab+b2≥ab
只需证(a-b)2≥0
∵(a-b)2≥0成立，∴得证 证法四：综合法
∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得：
举一反三：
【变式】已知
【答案】
证法一：
都是实数，且求证：，同理
证法二： 即
.证法三：
要证
所以原不等式成立.证法四：
原不等式等价于不等式
用比较法证明
且，只需证
只需证
又
所以
证法五：
设
则
即
故可考虑用三角换元法.证法六：
用向量的数量积来证明
设，
