证明不等式的方法论文_不等式的证明方法论文

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证明不等式的方法

李婷婷

摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。

关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性

不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。希望通过这些方法的学习。我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。

1不等式概念及基本性质

1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。

实数集内的任意两个数a,b总是可以比较大小的，如果ab是正数，则ab;如果ab是零，则ab；如果ab是负数，则ab。反过来也对。即有 a≧bab0这里符号表示等价于。

这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。许多不等式的证明，是从这个定义出发。首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。

1.2不等式基本性质

1.2.1abba(对称性)1.2.2若ab,bc,则ac(传递性)1.2.3若ab,则abbc(加法保序性)

1.2.4若ab,c0，则acbc(乘正数保序性)1.2.5若ab,cd,则acbd.若ab,cd,acbd.ab0,cd0,则acbd.11.1.2.6若ab,ab0,则ab

ab.1.2.7若ab0,dc0,则cd1.2.8若ab0,nN，则anbn,nanb.1.2.9若ab0,m,nN，则a1.2.10含绝对值的不等式

mnb,amnmnb.mn(1)xax2a2axaxbaabxab(2)xaa0x2a2xa或xa.3ababab.4a1a2...ana1....an.1.2.11若a,bR，则a20,ab0.21.2.12若a,bR，则abab.符号当且仅当ab时成立。由这个不等式还可以得到22x2y2xyxyx,yR,22另一些常用的不等式：

ba2a,bR.ababc3abc.符号当且仅当abc时成立。1.2.13若a,b,cR,则

3

2证明不等式的基本策略

2.1比较策略

比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。比较证明不等式的一般步骤是：作差——变形——判断——结论。为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

2.2分析综合策略

分析综合法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。两者在证明思路上存在着明显的互逆性。

综合法是由已知条件和已知不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法则要逐步找出使结论成立的充分条件，最后归结为已知不等式或者已知条件。对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或者分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径。

2.3构造策略 所谓构造，就是当某些数学问题用通常的办法难以奏效时，根据题设条件和结论的特征性质，从新的角度、用新的观点观察分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，用已知数学关系为支架，构造出满足条件或结论的数学对象，使原题中隐晦不清的关系和性质在新构造中的数学对象中清楚地展现出来，从而借助该数学对象解决数学问题的 2 方法。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容，分为某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。在运用构造法解题时，一要明确构造的目的，即为什么要构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点、确立方案、实现构造、达到目的。

3证明不等式的基本方法和技巧

3.1 比较法

比较法是证明不等式的最基本，最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。3.1.1 作差法

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.abba [例1] 已知a、bR,求证：abab，等号当且仅只当ab时成立。

[分析] 由于要证的不等式关于a,b对称，且式子不复杂，比较的式子都由字母a，b组成，左右两式存在公因式ab，可考虑用作差法来做，作差判断符号。

[证明] 设ab0.bbab0,aabbabbaabbbaabbab0,从而原不等式得证。显然上面的不等式当且仅aabbabab时等号成立，故原不等式当且仅当ab时成立等号。

[评价] 因为做差法是根据差值的符号来判断，所以在 比较差值的时候容易出错，一定要谨慎。3.1.2 作商法

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助

aa1或1来判断其大小，bab步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）.[例2]已知a2，求证：loga1alogaa1 [分析] 先判断不等号两边是否是正数。因为a>2,所以logaa10,logaa10，这时我们可考虑用作商法来比较大小，利用对数函数公式，通过变形化简即可判断了。[证明] 由原题得：

logaa1loga1a1logaa11 logaa1logaa1logaa12又因为

logaa1logaa1logaa1logaa12logaa214log2aa422

1所以原式＞1，故命题得证。

[评价]首先判断了左右两式均是正数，而且是对数形式，这种常用作商法目的在于好利用公式约分化简，构造容易比较大小的形式得出结论。3.2 综合法

利用某些已经证明过的不等式，例如算术平均数、几何平均数的定理、均值定理等等，利用这些不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法就是综合法。

[例3]a,b,c为互不相容的正数，且abc1，求证：

111abc.abc[分析] 因为abc1且a,b,c为互不相容的正数。观察前后的式子联想起我们所学的均值定理a1a2anna1a2an。把1换成abc的形式带入式子，化简之后就得nbc+ac+ba,再根据学过的均值定理来构造式子，变形化简可证。

[证明] 化简过程为：

111bcacacababbcbcacbabcacacababbcabc222abc,所以111abc.故命题得证。这样的方法主要靠平时知识的积累和应用。abc[评价]先化简后我们得到的式子就可把整个不等式看成一个整体，根据不等式定理、性质经过变形、运算，导出欲证的不等式。3.3放缩法

是要证明不等式A

11来做，缩小分母，扩大不等号左边的式子。2n(n1)n 4 [证明] 1111 2nn(n1)n1n11111111151171()().22222123n223n1n42n4[评价]此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

3.4 数学归纳法

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立.[例5]：证明不等式

111...1nN.n1n23n1[分析]：此题是一个与自然数n有关的命题，首先想到数学归纳法。可分析n=1时，当n=k时，当n=k+1时三种情况来讨论，若在假设下都成立，那么足以说明n在定义内取任何值都使原式成立。

111131.n1n2n3122假设当nk,不等式成立111...11.k1k2k33k4要证当nk1时不等式成立，即[证明] 1当n1,11111112...11.k1k23k13k23k33k4k13k13k23k4 [评价] 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常用数学归纳法来做，在验证命题 n=k(n整数)正确的基础上，证明命题具有传递性，而第二步实际上是一次逻辑的推理代替了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证明方法，实现了有限到无限的飞跃。3.5 换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若xy1，可设xcos,ysin；②若xy1，可设xrcos,yrsin0r1；③对于含有的不等式，由于x1，可设xcos；④若xyzxyz，由tanAtanBtanCtanAtanBtanC知，可设

2222xtanA,ytanB,ztanC其中ABC。(2)增量换元法：在对称式(任意交换 5 两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc0等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如ab1，可以用a1t,bt进行换元。

2222 [例6] 已知x,yR且xy1.求证x2xyy2.[分析] 在式中有xy≤1不 等式，可联想到上面性质中的第②点：若x2y21，可设xrcos,yrsin0r1，化为三角函数来带入要证明的式子就较为简便。

[证明] 设xrcos,yrsin,r1,则22x22xyy2r2cos22cossinsin2r2cos2sin22r2sin22.4

[评价]这里用的三角代换是换元法的一种。题目形式上比较复杂，但有一定的规律，则可采用变量代换法，通过换元，把生疏的结构转化为重要不等式形式使证题思路自然、简捷。它的基本思路是：按照代数式的结构特点选用适当的三角公式，进行三角代换，把代数题转化为三角题，从而用三角知识去解。3.6 判别式法

根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集，函数的性质等特征确定出其判别式应满足的不等式，从而推出欲证的不等式方法。判别式法应用

2f(y)xg(y)x(y)0形极其广泛，它的使用范围是“解答函数的解析式可以转化为

2式的一类函数的最大（小）值或值域问题”，学习时注意对x项系数f(y)0和f(y)0两种情况的讨论。

2f(y)xg(y)(y)0,f(y)0，依据xR,0求出y的范围。方法：①由②讨论f(y)0时的x的值是否是函数y的定义域中的值？若是，则y的范围含f(y)0a1x2b1xc1ab2a2xb2xc2的y值，是否不含这个值.本题解法对证明形如“，a1x2b1xc1cda2xb2”的不等式具有一般性。

1x2x13[例7] 求证:22x12。

[分析] 此题目不等号中间式子可构造成一元二次函数，要注意对x的系数的两种情况讨论6 x2x1y22(1y)xx1y0，x1证明：设，则

2y1xR,14(1y)0,得（1）当时，由13y,(y1)2 2

2(1y)xx1y0，得x=0（2）当y=1时，由x2x1yx21的定义域中的一个值，所以y=1是它的值域中的一个值.由（1）而x=0是函数131x2x13y2222x12。和（2）知，即[评价] 用判别式法证明不等式，实际上就是求函数的最大（最小）值或值域.它的使用

2f(y)xg(y)(y)0,f(y)0形式的一类函数范围是“解答函数的解析式可以转化

2的最大（小）值或值域问题”，学习时注意对x项系数f(y)0和f(y)0两种情况的讨论。

3.7 分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.[例8] 求证：11111111 26122030426[分析] 此题不等号左边为同分子异分母的7个分数和，分母的结构特点是从1开始每相邻两个自然数乘积，符号为加减交替，可利用我们学过的式子使相同式子相消，即可得答案。[证明] 因为

111来做，n(n1)nn1111

n(n1)nn***1=＜原题得2233445566776 所以 原式=1-证。

[评价]只要利用学过的公式来分解式子就更容易了，但这题要注意符号，符号容易出错。3.8函数极值法

在不等式证明中，我们常常构造函数f(x)，而f(x)构造好后，如果在所给函数区间上无法判断f(x)符号，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值与最值的方法进行证明

[例9] 设xR，求证：4cos2x3sinx21.8[分析] 此题可构造成一元二次方程的顶点式进行证明。

31[证明] f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx2

48当sinx231时，f(x)max2;48当sinx1时，f(x)min4.故 4cos2x3sinx21.8[评价]这题难在于化简f(x)来构造函数，用一元二次方程的顶点式求最值较易。3.9函数单调法

当x属于某区间，有f(x)0，则f(x)单调上升；若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f(x)g(x),(x(a,b))即可.[例10] 证明不等式e1x,x0.[分析] 所求不等式中有e，结构不复杂，求导数是它本身，这样用求导法来做应容易。靠导数求单调性就可把极值求出，即可证明不等式。

[证明]设fxe1x,则f'xe1。xxxx故当x0时，f'x>0,f严格递增； 当x0时，f'x0严格递减。

又由于f在x0处连续，则当x0时fxf00，从而得证。

[评价]此题目具有幂指数函数形式，对不等式进行移项、整理，在此基础上根据函数单调性证明之。利用函数单调性证明不等式，不等式两边必须可导，对所构造的辅助函数f（x）应在某闭区间内连续，开区间内可导，然后通过在开区间f'x的符号判断间上的单调性，根据单调性来解决不等式问题。

f（x）在闭区4小结

不等式的证明方法很多，远远不止以上所述，每一种方法都具有一定的特点和使用性，并有一定的规律可循，只有在多分析多总结的基础上，才能把握问题的实质，熟练运用各种证明技巧，提高解决问题的水平。各种证明方法之间也并不是孤立的，有时一个不等式也可能有好多种证明方法。我们在证明不等式中不必拘泥某种单一的方法，需要因地制宜根据不同的情况选择不同的方法来论证，可根据具体的情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的证明效果，体现数学的简洁性和实用性。

经过这段时间的毕业论文设计和对相关资料的收集，我对于不等式的证明有了深刻的了解和认识。学习了这些方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽 8 象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。

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