证明样本方差的期望值=总体的方差,即E(S2)=DX_样本方差的期望和方差

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证明样本方差的期望值＝总体的方差，即E(S2)=DX

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为

Y =(X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为

S =((Y-X1)^2 +(Y-X2)^2 +...+(Y-Xn)^2)/(n-1)

为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A

则 E A =E(n * Y^2n * Y^2)

注意 EX1 = EX2 =...= EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 =...= VarXn = VarX = E(X^2)n *(VarY +(EY)^2)

= n(VarX +(EX)^2)-n *(VarX/n +(EX)^2)

=(n-1)VarX

所以 E S = VarX;得证。