六大定理互相证明总结_中值定理证明方法总结

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六大定理的相互证明总结

XXX 学号

数学科学学院 数学与应用数学专业 班级

指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 确界定理

1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列an,bn（1）后一个区间在前适合下面两个条件：一个区间之内，即对任一正整数n，有anan1＜bn1bn，（2）当n时，区间列的长度bnanbnan0.所成的数列收敛于零，即limn显然数列an中每一个元素均是数列bn的下界，而数列bn中每一个元素均是数列an的上界.由确界定理，数列an有上确界，数列bn有下确界.设infbn,supan.显然anbn,anbn.又limbnan0 

n即an及bn收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.1.3 确界定理证明单调有界原理[1]

证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因yn有界，则必有上确界supyn.现在证明恰好是yn的极限，即yn.由上确界的定义有：⑴yn（n1,2,3…），⑵对任意给定的＞0，在yn中至少有一个数yN，有yN＞.但由于yn是单调增加数列，因此当n＞N时，有ynyN，从而yn＞.也就是说：当n＞N时，有

0yn＜ 所以 yn 2 单调有界原理

2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限.2.2 单调有界原理证明致密性定理

在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列xn必存在单调子数列.证明：⑴若xn中存在递增子序列xnk，则引理已证明；

⑵若xn中无递增子序列，那么n1＞0，使n＞n1，恒有xn1＞xn.同样在xn（n＞n1）中也无递增子序列.于是又存在n2＞0，使n2＞n，恒有xn2＜xn＜xn1.如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列xnk.引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]

由定理的条件立即知道an是单调增加有上界的数列，bn是单调递减有下界的数列.根据定理，则liman存在，且极限等于an的上确界.同样，limbn也存在，nn且极限等于bn的下确界.亦即对任何正整数k，有

akliman,bklimbn（*）

nn由定理的另一条件： limbnan0，并且由于已知an及bn的极限都存在，n则有limbnanlimbnliman0.nnn从而证明了两个极限相等，且设是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 akbn（k1,2,3…）

也就是是所有区间的一个公共点.现在要证明是所有区间的唯一公共点.设除点外，所设区间列还有另外一个公共点'，且'.由于an,'bn（n1,2,3…），故有

bnan'（n1,2,3…）由数列极限的性质知道：

limbnan'

n由于limbnan0，故有

n '0

从而有'.到此定理的全部结果都已得证.3 区间套定理

3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列an,bn时，区间列的长度bnan共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列xn递增有上界.取闭区间a1,b1，使a1不是数列xn的上界，b1是数列xn的上界.显然在闭区间a1,b1内含有数列xn的无穷多项，而在a1,b1外仅含有数列xn的有限项.对分a1,b1，取a2,b2，使其具有a1,b1的性质.故在闭区间a2,b2内含有数列

（1）后一个适合下面两个条件：区间在前一个区间之内，即对任一正整数n，有anan1＜bn1bn，（2）当nbnan0，则区所成的数列收敛于零，即limn间的端点所成两数列an及bn收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公xn的无穷多项，而在a2,b2外仅含有数列xn的有限项.以此方法，得区间列an,bn.由区间套定理，是所有区间的唯一公共点.显然，在的任何邻域内有数列xn的无穷多项，即＞0，NN*，当n＞N时，有xn＜.所以limxn 定理得证.n3.3 区间套定理证明致密性定理[1]

证明：设yn为有界数列，即存在两个数a,b，使aynb.等分区间a,b为两个区间，则至少有一个区间含有yn中的无穷个数.把这个区间记为a1,b1，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为a1,b1.再等分区间a1,b1为两半，记含有无穷个yn的区间为a2,b2.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列an,bn，这个区间列显然适合下面两个条件：

（1）a,ba1,b1a2,b2…（2）bnanba0 n2于是由区间套定理，必存在唯一点a,b使an,bn，且ak,bk（k1,2,3…）.每一ak,bk中均含有yn的无穷个元素.在a1,b1中任取yn的一项，记为yn1，即yn的第n1项.由于a2,b2也含有无穷个yn，则它必含有yn1以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为yn2，则n1＜n2.继续在每一ak,bk中都这样取出一个数ynk，即得yn的一个子列ynk，其中n1＜n2＜…＜nk＜…，且akynkbk.令k，由于ak,bk,故

ynk.这就是定理所要的结果.4 致密性定理

4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列.4.2 致密性定理证明单调有界原理

证明：不妨设xn单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列xnk.令limxnka.于是，对＞0，k0，当k＞k0时，有

k xnka＜（*）由于xn单调递增，显然恒有xna（n1,2,3…）.由此（*）式可改成0axnk＜（k＞k0）取Nnk0，当n＞N时有 0axnaxnk＜ 所以 limxna

n4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：

设xna，则对任意给定＞0，有一正整数N，当k＞N时，有 xka＜从而当m,n＞N时，有

xnxmxnaaxm＜其次证明条件的充分性：

首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取=1，必有一正整数N0，当m,n＞N0时，有xnxm＜1 特别地，当n＞N0且mN01时，有 xnxN01＜1 从而当n＞N0时，有 xnxnxN01xN01＜1+xN01

这就证明了xn的有界性.由致密性定理，必有收敛子列xnk，设limxnka.k 2+= 22根据子列收敛定义，对任意给定的＞0，必有正整数K，当k＞K时，有 xna＜

取一正整数k0maxK1,N1.于是k0＞K，且nkonN1N1＞N.因此，当n＞N时，由已知条件有xnxnk0＜，所以

xnaxnxnk0xnk0a＜+=2

即 limxna

n5 柯西收敛原理 5.1 柯西收敛原理 数列xn有极限的必要与充分条件是：对任意给定的＞0，有正整数N，当m, n＞N时，有xnxm＜.5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理

证明：反证法，设xn为一递增且有上界M的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是＞0，对NN*，当m,n＞N时，有 xnxm 取1，必有一正整数N1，当n1,n2＞N1时，有xn2xn11.又由于数列xn为一递增的数列，所以xn2xn1xn2xn11 取1，必有一正整数N1，当n2,n3＞N1时，有xn3xn21 取1，必有一正整数N1，当n3,n4＞N1时，有xn4xn31 …………… …………… …………… 取1，必有一正整数N1，当nk,nk1＞N1时，有xnk1xnk1 将以上式子相加，得xnk1k1（k）与数列xn有上界M矛盾，假设不成立.即，单调有界数列有极限.5.3 柯西收敛原理证明致密性定理

证明：反证法，设xn为一有上界M的数列.假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则＞0，对NN*，当nk1,nk＞N时，有xnk1xnk.取1，必有一正整数N1，当n1,n2＞N1时，有xn2xn11 取2，必有一正整数N2，当n2,n3＞N2时，有xn3xn22 取3，必有一正整数N3，当n3,n4＞N3时，有xn4xn33 …………… …………… …………… 取k，必有一正整数Nk，当nk,nk1＞Nk时，有xnk1xnkk 显然与数列xn有上界M矛盾，假设不成立.即，任一有界数列必有收敛子列.6 有限覆盖定理 6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b].6.2 有限覆盖定理证明确界定理

证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间ER，xE,有xM,任取一点x0E，假设E无上确界，那么x[x0,M]: ⅰ)当x为E的上界时，必有更小的上界x1＜x,因而x存在一开邻域x，其中每一点均为E的上界，称其为第一类区间；

ⅱ）当x不是E的上界时，则有x2E使x2＞x,那么x存在一开邻域x，其中每点均不是E的上界，称其为第二类区间. 当x取遍[x0,M]上每一点找出一个邻域x.显然x不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[x0,M]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[x0,M].显然M所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间x有公共点.所以xx，x均为E的上界.而与x相邻接的开区间'x有公共点，所以

x'x，x均为E的上界.依此类推，x0所在的开区间也是第一类区间，则x0为E的上界.又x0E，E为常数集.由此矛盾引出.得证.同理，E有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理

证明：设xn是一有界数列，现在证明xn有收敛子列.（1）如果xn仅由有限个数组成，那么至少有一个数要重复无限多次，即（2）如果xn是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间a,b，使对一切自然数n都有a＜xn＜b

在a,b内至少存在一点x0，使对于任意的正数，在x0,x0内都含有xn中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于a,b中每一点x，都有x＞0，在xx,xx内，仅有xn中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：=xn1xn2…=xnk… 因而子列xnk收敛于.xx,xx的有限多个区间.，完全覆盖了闭区间a,b，依有限覆盖定理，存在中1x1x1,x1x1，…，nxnxn,xnxn，他们也覆盖了a,b，并且在每一个i（i1,2,…,n）中都只含xn中的有限多个数.因此xn也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.1于是，对于k=（k1,2,3,…），于x0k,x0k内取xn中无穷多个点，就k1得到xn的子列xnk满足：xnkx0＜k（k1,2,3,…）从而limxn1x0得

kk证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：

[1] 陈传璋 金福临 朱学炎.《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7