不等式的证明方法论文_不等式的证明方法

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重庆三峡学院毕业设计（论文）

题目：不等式的证明方法

院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类）年 级 2009级 学生姓名 杨家成 学生学号 200906034134 指导教师 向以华

完成毕业设计（论文）时间 2013 年 5 月

目 录

摘要................................................................I Abstract...........................................................II 引言................................................................1

杨家成：不等式的证明方法

2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

例1 已知a1,a2an都是正数，求证：

aii1i1nn1n2． ai证明：构造两个数组：

a1,a2an;2111,a1a2an，由柯西不等式，得

2anii1nn21n1，即 aii1aii1ainanii121n21，i1i1ain2所以aaii1i11in2．

2.2.2 均值不等式

定理1.2设a1,a2,an是n个正数，则HnGnAnQn称为均值不等式.其中

Hnn111a1a2an，Gnna1a2an，Ana1a2an，n222aa2an.Qn1n例2 已知0a1,xy0，求证：logaaxayloga2xy21． 8证明：由0a1，a0,a0，得，axay2axay2axy，从而 logaaxayloga2axyloga2xy2，故只要证明xy11，即xy即可． 2842211111xyxxx，等号在x（这时y）时取得，24244所以logaaxayloga21． 8

杨家成：不等式的证明方法

2.2.3 排序不等式

定理1.3 设a1a2an,b1b2bn则有

a1bna2bn1anb

（倒序积和）

a1br1a2br2anbrn（乱序积和）

a1b1a2b2anbn,（顺序积和）

其中r1,r2,,rn是1,2,,n的一个排列，即

倒序积和≤乱序积和≤顺序积和． 例3 设a1,a2,,an是n个互不相同的自然数，证明：

1an111aa12． 2223n2n证明：设b1,b2,bn是a1,a2,,an的一个排列且b1b2bn，11，所以由排序不等式，得，22n2bnanba2b12a． 122222n2nbnb111又因为b11,b22,,bnn，故b12，22n22nan111a即1a12．

23n22n2说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.因1从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究.接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

3.1 利用函数的单调性

在证明不等式中最常见，最有用的方法之一就是函数单调性法，先来看相关定理.定理 3.1 设函数fx在区间I上可导，则fx在I上递增(减)的充要条件是：

fx00．

证明:“”若fx为增函数，则对每一个x0I当xx0时有

fxfx00令xx0即得fx0． xx0“” 若fx在区间I上恒有fx0，则对任意的x1,x2Ix1x2应用拉格朗日中值定理，存在x1,x2I，使得fx2fx1fx2x10由此得到fx在I上为增函数．

定理 3.2 设函数yfx在a,b上连续,在a,b内可导，① 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调增加； ② 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调递减.例1 求证：当0x证明：设fx

fx由0x2时，sinx2x．

sinx，x0,，x2xcosxsinxxtanxcosx，22xx2，sinxxtanx可知，fx0，即fx在0,上严格递减，2又由于fx在x2处连续，故fxf2． 2nn例2 已知m,n都是正整数，且1mn，证明：不等式1m1n． 证明：原不等式等价于ln1mln1n，令 mn

杨家成：不等式的证明方法

fxfxln1x，x2，则

xx1xln1xxxln1xx1ln1x0,1xx21xx21xx2即fx在2,上严格递减，所以fmfn，即1mn1nm成立．

说明：对幂指式情况，常取对数，作辅助函数来帮助证明.由以上例题可总结出函数的单调性法的证明不等式步骤：

① 移项（或其它等价变形）使不等式一端为0，另一端为所作的辅助函数fx； ②讨论fx 符号来确定fx在指定区间的增减性，③根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.其中步骤① 是关键，作出适当辅助函数fx，值得注意的是步骤②讨论fx符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，若仍旧不能判断，再求三阶导数，重复上述过程.例3 求证：tanxx,x0,． xsinx2证明：即证明tanxx0，即sinxtanxx2． xsinx2设fxsinxtanxx，则f0f0f00，而

fxsinxsec2x12secxtan3x4sec3xtanx0，fx0，命题得证．

例4 求证：当x0时，x21lnxx1．

2x21x10，故f在0,上递增． 证明：设fxlnx,x0，则fxxx1x1x12，即x21lnxx1； x1x12当x1时，fxf10，得lnx，即x21lnxx1，x1当0x1时，fxf10，得lnx综上，结论命题得证．

利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，与之类似的是利用函数的极值与最值，但是这里比较的是极值与端点值，而不是0与端点值.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

3.2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中应用最广泛的是拉格朗日中值定理.定理3.3(拉格朗日中值定理)函数f满足如下条件：

(ⅰ)f在区间a,b上连续，(ⅱ)f在区间a,b内可导，fbfa． bafbfaxa． 证明: 作辅助函数Fxfxfaba则在a,b上至少存在一点使得 f显然FaFb0且F在a,b上满足罗尔中值定理的条件，故存在a,b使得Fffbfa0，移项即得 bafbfa． fba

由拉格朗日公式特点看出，拉格拉日中值定理适用于证明含有函数及其导数，且出现函数之差，自变量差及fx的表达式的不等式.例1 证明： 对一切h1,h0成立不等式证明：设fxln(1x),x[1,h]，hln1hh． 1hf(x)在区间[1,h]上满足拉格朗日中值定理，则

ln(1h)ln(1h)ln1h,01，1hhhh，1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,hhh，1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,从而得到所要证明的结论．

例2 求证：sinxsinyxy.证明：设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos，故sinxsiny(xy)cosxy.由以上二例可总结出应用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：

杨家成：不等式的证明方法

①构造函数f(x)，并确定对应区间[a,b]； ②对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理；

③利用与 a、b 之间大小关系，题中所给条件，放大或缩小f()，从而推得不等式.步骤中关键是 2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

故有f(例2求证：2eab1b)f(x)dx． a2ba121212ex2dx2．

11x2x2f(x)e,x,证明：设，则，令f(x)0,x0，f(x)2xe2211而f()f()e2,f(0)1，22121221fmax1,fmine即e12ex1，11111x2e()2edx()，1222221212122eexdx2．

2说明：当证明某积分不等式大于等于或小于等于定数时，往往利用转化为求原函数最值较为简单.除了积分性质，积分中值定理也常用于证明不等式.4.2 利用积分中值定理

积分中值定理包括积分

杨家成：不等式的证明方法

证明：设F(x)F(x)x0f(t)dtxx02，则

xf(x)f(t)dtxf(x)f()(0x)，x依题意，得，f()f(x),F(x)0 ．

在[0,)上单调递减，得，F(a)F(b)，即a0f(x)dxabb0f(x)dxba0，af(x)dxbf(x)dx．

0运用积分中值定理，可将积分不等式转化为函数不等式来证明，同样的思路也应用到变限积分法中.4.3 利用二重积分证明不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题，会给解题带来方便.定理4.2 若f(x)在[a,b]上可积，g(y)在[c,d]上可积，则二元函数f(x)g(y)在平面区域D(x,y)|axb,cyd上可积，且

f(x)g(y)dxdyDbaf(x)dxg(y)dy．

cd例1 设函数f(x)与g(x)在[a,b]上连续，证明Cauchy-Schwarz积分不等式bbb22af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx．

2证明：记积分区域D[a,b][a,b]，利用定积分与积分变量符号无关的性质等，有bbbaf(x)g(x)dxaf(x)g(x)dxaf(y)g(y)dyf(x)g(x)f(y)g(y)dxdy D 12222[f(x)g(y)f(y)g(x)]dxdy 2Dbb1b21b222f(x)dxg(y)dyf(y)dyg(x)dx aaaa22

 2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

bb

af2(x)dxg2(y)dy．

a以上就是要介绍的积分在证明不等式的几种方法，从应用中，可看出运用积分与微分证明不等式方法类似，都主要是利用相关的性质，公式.由以上可以看出，微积分对证明不等式起到了重要作用.对于某些初等方法无法证明的不等式，适当地利用微积分知识就可以证明.在具体证明中要依据题设和待证不等式的结构特点，内在联系，选择适当的证明方法.至于如何选择方法，这就得熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，通过摸清问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题.杨家成：不等式的证明方法

从而fn1n1的充要条件为(1Pn)0，n1

现取PKK，K112n1nn

则fn(1)(1)(1，)23nn1n1(n1)!n1n1n1

而(1Pn)(1)0，n1n1n1n1n1

n1，n1(n1)!n1.(n1)!n1N

分析：欲证此不等式，可从考虑相应的级数入手，若能证明级数收敛且

(n1)!1即可.n1n由上可看出要利用概率论的方法对不等式进行证明，关键在于针对不等式的具体形式，构造相应的概率模型，再利用概率论的相关性质、定理加以证明，从而可以使一些不等式的证明大大简化.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

致谢

论文即将完成，回顾这篇论文的完成，是单单靠自己完成不了的，从选题到研究方法，从资料查询到写稿，从初稿到修改，直至最终定稿，无不受到向以华老师的悉心指导，深深关切.整个书写论文过程中，向老师的治学严谨，平易近人深深地影响了我，让我在收获专业知识的同时，也获得关于治学，关于为师的道理，相信这将对我以后的学习工作带来不小的启迪.因此，借此机会，向尊敬的向老师表达我由衷的谢意!参考文献

[1] 华东师范大学数学系．数学分析．高等教育出版社，2001.6.[2] 陈传理，张同君．竞赛数学教程．高等教育出版社，1996.10.[3] 曹敏谦．数学分析习题集题解(三)．上海交通大学印刷厂，1979.[4] 魏全顺.微分在不等式证明中的应用，湖南