放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径_放缩法证明数列不等式

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放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、先放缩再求和

例1（05年湖北理）已知不等式[log

n]表示不超过log

nan1nan1nan1nan

11n

1213

1n12[log

2n],其中n为不大于2的整数，2

2n的最大整数。设数列an的各项为正且满足

2b2b[log

a1b(b0),an(n2,3,4)，证明：an

n]，n3,4,5

分析：由条件an

得：

1an



1an1



1n



1an1



1an1

(n2)

an1an2



1n1

……

1a2

1a1

12

以上各式两边分别相加得：

1an

1a11n

1n11n1



1an

1b1b



1n12





[logn](n3)2

=

2b[log

2b

n]

 an

2b2b[log

n]

(n3)

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

n

例2（04全国三）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2an(1)，n1

（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

1a

41a

5

1am

78

分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1（n>1）化简得：an2an12(1)n1 an(1)

n

2

an1(1)

n1

2,an(1)

n



32[

an1(1)

n1



]

故数列{

an(1)2

n



}是以a1

为首项, 公比为2的等比数列.故

an(1)

n



12n2n1n

()(2)∴an[2(1)]

333

23[2

n2

∴数列{an}的通项公式为：an

(1)].n

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能

够求和。而左边=

1a4

1a5



1am

3[1

221



121



m2

(1)

m

]，如果我们把

上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

121

121



121





12，

121





12，因此，可将

121

保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可

求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数(m4)时，1a4

1a5

1am

1a412

(3

1a51



1a61)（1am11

m2



1am)



2222

1311

(1m4)

2242137



288

()

（2）当m是奇数(m4)时，m1为偶数，1a4

1a5

1am

1a4

1a51a4

1a61a5

1am1am

1am178



所以对任意整数m4，有

。

本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：a12,an1anan1,nN 证明：（1）对于nN恒有an1an成立。

（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。（3）1

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由an1anan1得：

an11an(an1)

an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式1

2006



1a1



1a21



1a2006

1，可先设法求和：

1a1



1a2



a2006，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an11



1an1



1an



1an1a1



1an11a2



1an111a2006



（1a111



1a211)（1a21



1a31)（1a20061



1a20071)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

1

1a1a2a2006

2006

2

2006

1

2006

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。