斐波那契数列通项公式的证明_斐波那契数列通项公式

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斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通项公式为：an1[(15)n(1)n]

1解得证明：令anan1(an1an2)(n3)则有1





121

或





121

故有

(1)

an

1151111an1(an1an2)或(2)anan1(an1an2)222222

anan1

1an111515，因为n3故数列{an}是以aaa1为首项，n122221an

2(Ⅰ)由（1）得

以

1115n215

为公比的等比数列，所以，anan1(a2a1)()由a1a21得2222

1an12

an

11n1anan11 ()两边同除以(15)n得：221n115n115

()()2222

即

an(1n)2



1an1

11n1

()2



anan115移项得1515(n3)则由



221n11n1

()()22

1anan1155所以{an得，}是以2[]k

5151n15551n115n

()()()1

2221a2(152)2



1an

为首项为公比的等比数列。故511(2

)n

a21n2

[]()551521()2

a2515n2，由(1)2(2)2化简可得 得a(15)n{[]()}n

2152551215

()2

an

15n15n)()](n3)(*)验证可得，当n=

1、n=2时，a1a21故斐波那契数列中，225[（*

对于nN，(*)式都成立。

*

(Ⅱ)同理，由(2)an1an11(an11an2)也可得斐波那契数列中，（*)式对于nN都成立

222

所以，斐波那契数列的通项公式即为：an

15n15n)()] 225[（木鱼石整理