高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类：M单元 推理与证明_推理与证明文科高考题

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数学

M单元 推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

16．201 [解析](i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．

(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．

则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A [解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．

x14．[2014·陕西卷] 已知f(x)＝x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则1＋x

f2014(x)的表达式为________．

xx14.[解析] 由题意，得f1(x)＝f(x)＝ 1＋2014x1＋x

x

1＋xxxf2(x)＝f3(x)＝，„，x1＋2x1＋3x11＋x

由此归纳推理可得f2014(x)＝x.1＋2014x

M2 直接证明与间接证明

21．、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．

(1)求f(x)的单调区间；

111(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有x1x2xn

321．解：(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．

当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f′(x)

当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．

ππ(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.2

2当n∈N*时，因为

＋f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故

nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.142因此，当n＝1时，＜； x1π3

1112当n＝2时，＋(4＋1)＜ x1x2π3

当n≥3时，1111114＋1＋ 2（n－1）x1x2xnπ

11151＜＜（n－2）（n－1）1×2ππ5＋1－1＋11＋„＋11 223n－2n－1

1162＝6－n－1＜＜π3π

1112综上所述，对一切n∈N*，.x1x2xn3

M3数学归纳法

sin x23．、[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.x

πππ(1)求2f1＋f2的值； 222

πππ2(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋n＝ 4442

sin xcos xsin x23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，xxx

cos xxsin ′＝ 于是f2(x)＝f1′(x)＝′－xx－sin x2cos x2sin x＋，xxx

ππ4216所以f1＝－f2＝－22πππ

πππ故2f12＝－1.222(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，π即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sinx＋.2

类似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，3π3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sinx＋，2

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

nπ下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

(i)当n＝1时，由上可知等式成立．

kπ(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sinx.2

因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，sinx＋kπ′＝cosx＋kπ·x＋kπ′＝sinx＋（k＋1）π，2222

（k＋1）π所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sinx＋2，因此当n＝k＋1时，等式也成立．

nπ综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

πππππnπ令x＝nfn－1＋fn＝sin＋(n∈N*)，424444

πππ所以nfn－1＋fn＝444(n∈N*)．

M4单元综合5．[2014·湖南长郡中学月考] 记Sk＝1k＋2k＋3k＋„＋nk，当k＝1，2，3，„时，观察

111111111111下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋2＋n，S34＋3＋2，S4＝n5n4＋3－n，2232642452330

115S56＋5＋n4＋An2，„由此可以推测A＝____________． 6212

11155．－ [解析] 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋126212

1A＝1，解得A＝－12

6．[2014·日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝π

4r2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，3

观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.6．2πr4 [解析] 因为W′＝8πr3，所以W＝2πr4.7．[2014·甘肃天水一中期末] 观察下列等式：

(1＋1)＝2×1；

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．

7．(n＋1)(n＋2)(n＋3)„(n＋n)＝2n×1×3×5ׄ×(2n－1)

[解析] 观察等式规律可知第n个等式为(n＋1)(n＋2)(n＋3)„(n＋n)＝2n×1×3×5ׄ×(2n－1)．

8．[2014·南昌调研] 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，„，则第57个数对是________．

8．(2，10)[解析] 由题意，发现所给序数列有如下规律：

(1，1)的和为2，共1个；

(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；

(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；

(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；

(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个．

由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)．

9．[2014·福州模拟] 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论ax1＋ax2x1＋x2>a成立．运用类比的思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y22

＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有________________成立．

9.sin x1＋sin x2x1＋x2

sin x1＋sin x2x1＋x2总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以有