几何证明(选修)专题_几何证明专题

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几何证明（选修）专题学案

考纲要求：

1．几何证明选讲

（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.（2）会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（5）了解下面定理：

定理 在空间中，取直线为轴，直线与相交于点顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为

①②③＞＝＜，平面π与圆锥的交线为椭圆；，平面π与圆锥的交线为抛物线；，平面π与圆锥的交线为双曲线.，其夹角为围绕旋转得到以＝0），则： 为（π与平行，记

（6）会利用丹迪林（Dandelin）双球（如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F、E）证明上述定理①情形：当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.（图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A.）

（7）会证明以下结果：

①在（6）中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；

②如果平面π与平面π'的交线为m，在（5）①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率.）

（8）了解定理（5）③中的证明，了解当无限接近时,平面π的极限结果学习过程

三、题海拾贝，提升能力

1（本小题满分10分）（2007宁夏卷）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A

（Ⅱ）求OAMAPM的大小．

A

12（本小题满分10分）(2008宁夏卷)选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。（1）证明：OM·OP = OA2；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON

于K。证明：∠OKM = 90°。

3（本小题满分10分）(2009海南、宁夏卷)选修4—1；几何证明选讲

如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且

AEAF。

（1）证明：B,D,H,E四点共圆；

（2）证明：CE平分DEF。

4（本小题满分10分）(2010新课标卷)选修4—1：几何证明选讲

，过C点的圆的切线与BA的延长线交于ACBD如图：已知圆上的弧

E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD。（Ⅱ）BC=BE x CD。

5（本小题满分10分）(2011新课标卷)选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x14xmn0的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若A90，且m4,n6,求C，B，D，E所在圆的半径．

1（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与O相切于点P，所以OPAP． 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC． 于是OPAOMA180°． 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以

A

OAMOPM． 由（Ⅰ）得OPAP．

由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90°． 所以OAMAPM90°

2．解：

（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OAAM． 又因为APOM，在Rt△OAM中，由射影定理知，················································································································ 5分 OA2OMOP． ·（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BNOK． 同（Ⅰ），有OBONOK，又OBOA，所以OPOMONOK，即又∠NOP∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM∠OPN90． ················································ 10分 3解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为ABC的平分线，得

HBD30°

由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30° 又AHEEBD60°，由已知可得EFAD，可得CEF30° 所以CE平分DEF



ONOM

． 

OPOK

, ACBD4解:（Ⅰ）因为

所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD.……5分（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDCECB,故即BCBE 5解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

BCCD

.

BEBC

……10分 C.D

ADAE

.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

ACAB

因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四点共圆。

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF= 故C，B，D，E四点所在圆的半径为52

(12-2)=5.2