证明不等式的常见方法4_常用的不等式证明方法

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证明不等式的常见方法4

三角代换法

例 已知xR，求证：-1≤x+1x2≤2

2解：∵xR 又 1x01x1 ∴可设x=sin(-22)则有y=sin +∣cos ∣

∵-22 ∴cos≥0)∴y=sin ∵- + cos=2sin(+422 ∴-

3≤≤+≤ 444)≤2 4例

5、已知a2b21,x2y21.求证：axby1.∴-1≤2sin(+分析 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

x2y21,可设

asin,bcos.xsin,ycos 证： ab1,22axbysinsincoscoscos()1,思考题

若x为任意实数，求证：—

1x1≤≤ 21x22提示：类比万能公式中的正弦公式。构造函数f（x）= 即可。

证明：设 y=

x11，从而只需证明f(x)的值域为[—，]21x22x2，则yx-x+y=0 1x2 ∵x为任意实数∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

221x1 ∴—≤≤

21x22 ∴y≤2[说明]应用判别式说明不等式，应特别注意函数的定义域。还可采用平均值不等式求证。