九年级数学暑期班第五讲四边形证明初步测试题(含答案)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“四边形测试题含答案”。
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答案：8 解题思路：因为四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠EAD＝∠AFD＝90°，又因为∠EAF＝45°，所以∠FAD＝45°，∠ADF＝45°，则∠ABE＝45°，因此AE＝BE，AF＝FD，根据勾股定理可知，AB＝AE，AD＝
AF，而四边形ABCD的周长为C＝2（AB＋AD）＝
2×2
＝8.（AE＋AF），又因为AE＋AF＝2，所以平行四边形ABCD的周长C＝2易错点：不能很好的利用平行四边形的性质及特殊直角三角形的性质.试题难度：五颗星
知识点：平行四边形的性质
2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=
4，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边 BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为______.答案：当BE＝AE时，CF＝；当BE＝BA时，CF＝4－3；当AB＝AE时，CF＝2.解题思路： 因为∠B＝∠AEF＝45°，而∠AEF＋∠FEC＝∠B＋∠BAE，所以∠FEC＝∠BAE，又根据等腰梯形的性质，可以知道，△ABE∽△ECF.并且根据等腰梯形已知边的长度，易计算边AB＝3.如图，当BE＝AE时，因为∠B＝45°，根据等腰三角形的性质易知，∠BEA＝90°，即△ABE为等腰直角三角形，易计算BE＝，因此EC＝4
－BE＝，根据三角形的相似性可以知道，△ECF也为等腰直角三角形，故易知CF＝.众享热线：0371-66519991 网 址：ese.xxt.cn
如图，当BE＝BA时，则BE＝BA＝3，且△ABE为等腰三角形，故EC＝4三角形的性质可以知道，CF＝EC＝4
－3.－3，再根据相似
如图，当AB＝AE时，则△ABE为等腰直角三角形，且∠BAE＝90°，因此BE＝3－3＝，CE＝4，根据三角形的相似性，可以知道△ECD也为等腰直角三角形，且∠FEC＝90°，根据勾股定理可以知道，CF＝2.易错点：对题中存在的各种情况考虑不全，不能将答案填完整.试题难度：五颗星
知识点：直角三角形的性质及其判定
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）
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答案：3a＋b 解题思路：
如图，过点A作DB的平行线交CB的延长线于点G，则四边形AGBD为平行四边形，所以GB＝AD＝a，GC＝GB＋BC＝a＋b，因为AC⊥BD，所以AC⊥AG，又因为四边形ABCD为等腰梯形，则易证△ABD≌△DCA，所以AC＝DB，故AC＝AG，即△AGC为等腰直角三角形，而AE⊥BC，所以AE为直角三角形AGC斜边GC的中线，因此AE＝
＝
.由题中的已知条件易判断四边形AEFD为长方形，所以四边形AEFD的周长C＝2AE＋2AD＝（a＋b）＋2a＝3a＋b.故答案为3a＋b.易错点：不能借助合适的辅助线进行有效的解题 试题难度：五颗星
知识点：平行四边形的性质
4.已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E、F、G．若BE=5，EF=2，则FG的长为______.答案： 解题思路：
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，可易证△AEF∽△CEB，所以
＝，根据众享热线：0371-66519991 网 址：ese.xxt.cn
条件可知，＝，若设BC长为5份，则AF长为2份，因此FD的长占3份，所以
＝
＝，而GB＝GF＋FB，FB＝EF＋BE＝2＋5＝，根据条件易证△GFD∽△GBC，因此＝7，所以＝，解得，FG＝
易错点：不能将FG与题中已知的条件联系起来.试题难度：五颗星
知识点：平行四边形的性质
三、解答题(共2道，每道10分)1.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
答案：（1）OE＝OF.∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，又∵CE为∠BCO的角平分线，∴∠ECB＝∠ECO，∴∠OEC＝∠ECO，∴△OEC为等腰三角形，∴OE＝OC，同理可证OC＝OF，故OE＝OF.（2）不会是菱形.假设在边AC上存在一点O，使四边形BCFE为菱形，则CF＝FE，但∵CE为∠BCO的角平分线，CF为∠OCD的角平分线，∴∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF为直角三角形，且∠ECF＝90°，∴斜边EF＞FC，与EF＝FC矛盾，因此四边形BCFE不会是菱形.（3）要使四边形AECF为正方形，只需对角线AC与EF互相垂直平分，由（1）可知，O已经是EF的中点，只需满足O为AC的中点即可保证对角线AC与EF互相平分，又∵EF是水平方向的线段，要保证AC与EF垂直，只需AC为竖直方向的线段即可，即三角形ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因此，当O运动到AC的中点，△ABC为直角三角形时，四边形AECF是正方形.解题思路：（1）可判断OE＝OF.由已知的条件MN∥BC，知∠OEC＝∠ECB，又因为CE为∠BCO的角平分线，可以知道∠ECB＝∠ECO，∠OEC＝∠ECO，所以△OEC为等腰三角形，则OE＝OC，同理可以证明OC＝OF，因此OE＝OF.（2）不会是菱形.我们可以假设在边AC上存在一点O，使四边形BCFE为菱形，则CF＝FE，但因为CE为∠BCO的角平分线，CF为∠OCD的角平分线，所以∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF为直角三角形，且∠ECF＝90°，所以斜边EF＞FC，这就与EF＝FC矛盾，因此四边形BCFE不会是菱形.（3）要使四边形AECF为正方形，根据正方形的判定定理可以知道，只需对角线AC与EF互相垂直平分，由（1）可知，O已经是EF的中点，只需满足O为AC的中点即可保证对角线AC与EF互相平分，又∵EF是水平方向的线段，要保证AC与EF垂直，只需AC为竖直方向的线段即可，这样三角形ABC就为直角三角形，且∠C＝90°.因此，当O运动到AC的中点，△ABC为直角三角形时，四边形AECF众享热线：0371-66519991 网 址：ese.xxt.cn
是正方形.易错点：对菱形的性质及正方形的判定定理不了解 试题难度：五颗星
知识点：平行四边形的性质
2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以△ABC三边为边作等边三角形（如图所示），求四边形DCEF的面积．
答案：∵BC＝BE＝3，BA＝BF＝5，且∠ABC＋∠CBF＝60°，∠CBF＋∠FBE＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴∠BEF＝90°，EF＝4，同理可证△AFD≌△ABC，∴DF＝3，∵∠FDA＝90°，∠CDA＝60°，∴∠FDC＝30°，由两次三角形的全等可以知道，△AFD≌△FBE，∴∠DFA＋∠EFB＝90°，∴∠DFE＝150°，∴∠DFE与∠FDC是互补的，∴四边形DCEF为平行四边形，又∵DF＝3，∠FDC＝30°，∴四边形DCEF的边DC上的高为，∴四边形DCEF的面积S＝4×＝6.解题思路：思路1：由已知条件可知，BC＝BE＝3，BA＝BF＝5，又因为∠ABC＋∠CBF＝60°，∠CBF＋∠FBE＝60°，所以∠ABC＝∠FBE，因此可证△ABC≌△FBE，所以∠BEF＝90°，所以EF＝4，同理可证△AFD≌△ABC，因此DF＝3，由∠FDA＝90°，∠CDA＝60°，可以知道∠FDC＝30°，由两次三角形的全等可以知道，△AFD≌△FBE，因此∠DFA＋∠EFB＝90°，故∠DFE＝150°，所以∠DFE与∠FDC是互补的，因此四边形DCEF为平行四边形，由各边的长及∠FDC＝30°，可容易计算出来四边形DCEF的边DC上的高为，所以四边形DCEF的面积S＝4×＝6.思路2：最后再求面积的时候，可以根据分割的思想进行求解，即四边形DCEF的面积＝△AFD的面积＋△ABF的面积＋△FBE的面积－（△ACD的面积＋△ABC的面积＋△BCE的面积），其中要求的三角形都是特殊的三角形，易计算，答案为：6.易错点：不能很好的利用全等三角形的性质及直角三角形的性质进行解题.试题难度：五颗星
知识点：全等三角形的性质及其判定
四、证明题(共3道，每道20分)
1.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想
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答案：（1）∵四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，且∠GDE＝∠ADC＝90°，则∠ADG＋∠GDE＝∠ADG＋∠ADC，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG.（2）AE⊥CG.设AE与CG的交点为Q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠DEA＝∠DGC，∴∠DEA＋∠AEF＋∠FGD＝180°＝∠DGC＋∠AEF＋∠FGD＝180°，在四边形GQEF中，由四边形的内角和性质可知，∠GQE＝360°－180°－90°＝90°，∴AE⊥CG.解题思路：（1）有题中已知的条件，四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形知，AD＝CD，DE＝DG，且∠GDE＝∠ADC＝90°，所以∠ADG＋∠GDE＝∠ADG＋∠ADC，因此∠ADE＝∠CDG，所以△ADE≌△CDG，所以AE＝CG，结论得证.（2）AE⊥CG.设AE与CG的交点为Q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠DEA＝∠DGC，所以∠DEA＋∠AEF＋∠FGD＝180°＝∠DGC＋∠AEF＋∠FGD＝180°，在四边形GQEF中，由四边形的内角和性质可知，∠GQE＝360°－180°－90°＝90°，因此AE⊥CG.易错点：不能很好的利用四边形内角的性质
试题难度：四颗星
知识点：多边形的内角和与外角和
2.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=BC，E是AB上的一点，且∠DEC=60°，求证：AD+AE=AB.答案：连结A、C两点，过点E作EF∥AC，∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC、△EBF均为等边三角形，则∠EFC＝120°，BE＝BF，∴AE＝CF，又∵AD∥BC，所以∠EAD＝120°，又∵∠DEC＝60°，∴∠FEC＋∠AED＝60°，又∵∠AED＋∠ADE＝60°，∴∠FEC＝∠ADE，∴△AED≌△FCE（AAS），AD＝EF，又∵EF＝BE，则AD＝BE，由AE＋BE＝AB知，AE＋AD＝AB.众享热线：0371-66519991 网 址：ese.xxt.cn
解题思路：作辅助线，连结A、C两点，过点E作EF∥AC，由于∠B＝60°，AB＝BC，所以可以知道△ABC、△EBF均为等边三角形，只需证明AD＝EF则结论即可证明，由等边三角形的性质，可知∠EFC＝120°，BE＝BF，所以AE＝CF，又因为AD∥BC，所以∠EAD＝120°，又因为∠DEC＝60°，所以∠FEC＋∠AED＝60°，又因为∠AED＋∠ADE＝60°，所以∠FEC＝∠ADE，所以△AED≌△FCE（AAS），AD＝EF，又因为EF＝BE，则AD＝BE，由AE＋BE＝AB知，AE＋AD＝AB.易错点：不能找到一条合适的辅助线进行有效的解题 试题难度：四颗星
知识点：三角形全等的证明
3.如图，在矩形ABCD中，延长BC到E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF，求证AF⊥CF．
答案：如图，连接BF，∵BE＝BD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFA＋∠AFD＝90°，又∵CF为直角三角形DCE斜边的中线，∴CF＝DF，则∠FDC＝∠DCF，∴∠ADF＝∠BCF，又∵AD＝BC，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD＝∠BFC，∴∠BFA＋∠BFC＝∠AFC＝90°，∴AF⊥CF.解题思路：有题中的已知条件可知，如果连接BF，则BF⊥DE，所以应该连接BF，因为BE＝BD，F为DE的中点，所以BF⊥DE，所以∠BFA＋∠AFD＝90°，如果能证明∠AFD＝∠BFC，则结论即可得证.由已知条件，CF为直角三角形DCE斜边的中线，则CF＝DF，∠FDC＝∠DCF，所以∠ADF＝∠BCF，又因为AD＝BC，所以△ADF≌△BCF，所以∠AFD＝∠BFC，所以∠BFA＋∠BFC＝∠AFC＝90°，所以AF⊥CF.易错点：不能连接合适的辅助线进行有效的解题 试题难度：四颗星
知识点：矩形
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