高中数学53不等式的证明533反证法知识导航学案苏教版45.（推荐）_高中数学反证法教案

高中数学53不等式的证明533反证法知识导航学案苏教版45.（推荐）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中数学反证法教案”。

5.3.3 反证法

自主整理

运用反证法证明不等式的主要步骤: 第一步:作出与所证不等式______________的假设;第二步:从____________出发,应用正确的推理方法,推出____________结论,_____________假设,从而证明原不等式成立.高手笔记

用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑

反证法的理论依据是什么?

剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题pq为真命题,则qp也必为真命题.这是因为如果逆否命题qp为假的话,则qp是真的.于是有qpq,即qq,这显然是错误的.所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立.反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证法.讲练互动

【例1】设a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c都为正数”,可用反证法.证明:假设a、b、c不全大于0,不妨设a≤0.当a=0时,abc=0与abc>0矛盾.当a0,∴bc0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾.∴假设不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.绿色通道

“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中a、b、c同等地位,可不妨设a≤0,要全部否定,注意有“=”.变式训练

1.若x>0,y>0,且x+y>2,求证:

1y1x、中至少有一个小于2.xy 1 证明:假设1y1xx、y都大于等于2, 即1y1x≥2,xy≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,与x+y>2矛盾.∴假设不成立.∴1yx、1xy中至少有一个小于2成立.【例2】设a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证法一:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即(1-a)b>14,(1-b)c>114,(1-c)a>4.∵00.∵b>0,∴(1-a)b≤(1ab2)

2.∴1ab2≥(1a)b>12.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假设不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于

14.证法二:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即有b-ab>1114,c-bc>4,a-ac>4.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164.∵00.∴0

1, 641与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾.64∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤∴假设不成立,原结论成立.绿色通道

本题为否定性命题,用反证法证明并结合基本不等式完成推理.变式训练

2.设01,(2-b)a>1,(2-c)b>1.∵00.∴1

21.2分析:本题是判断函数值的大小,但结论包括多种不同的情况,“至少”问题可用反证法.证法一:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于

1, 21, 21｜f(2)｜=｜4+2p+q｜

21.21, 2111,｜f(2)｜

得

1272172

, 92192

1232.②④,得-4

得

72

92.⑥ 由③⑥,⑦

由⑤⑦,得矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于

得-6

1.2绿色通道

本题利用函数研究函数值,证法一中构造了绝对值不等式,较为简练,但不易想出;证法二中方法比较自然,去掉绝对值号,根据不等式的性质消元得出前后结论矛盾.变式训练

3.已知a、b、c均为实数,a=x-2y+

22

2,b=y-2z+,c=z-2x+,求证:a、b、c中至少有一236个大于0.证明:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 则a+b+c≤0.又∵a+b+c =(x-2y+2222)+(y-2z+)+(z-2x+)2362=x-2x+y-2y+z-2z+π 222=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3 ≥π-3>0.∴矛盾.∴假设不成立.∴a、b、c中至少有一个大于0.2 4