高中理科数学第一轮复习：不等式的证明(二)_高中数学第一轮总复习

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不等式的证明(二)

【知识点精讲】

1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

2.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4.构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【例题选讲】

(一).复习:不等式证明三种主要方法,然后讲P89例1例2 例1

(P89)

1设实数x.y 满足y+x=0,0

2xy例2.已知a.b.cR,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c)

1。2(二)其它方法: 2例

3、已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于

1”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成2的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于

1，则 2|f(1)|2|f(2)||f(3)|2，而 |f(1)|2|f(2)||f(3)||f(1)f(3)2f(2)|

|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，相互矛盾

∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于

1。2[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。例

4、（1）设x,yR，且x2y21，求证：|x22xyy2|2 ；322（2）设a,b,cR，且abc1，求证：abc【证明】（1）设xrsin,yrcos,且|r|1 则|x22xyy2|r2|cos22sincossin2|，=r|cos2sin2|（2）设a22r2|sin(24)|2。

111,b,c，333∵abc1，∴0。于是abc

[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为 222121()(222)。333xyr或222xyr222x2y2或221等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形ab73方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例

5、.已知xyz5，x2y2z29求证：x,y,z都属于[1,]。【证明】由已知得：z5xy，代入x2y2z29中得：

x2(y5)xy25y80

∵xR，∴△≥0，即(y5)24(y25y8)0

7777，即y∈ [1,]。同理可证x∈ [1,]，z∈ [1,]。33331222变式：设abc1,abc1，且abc，求证：c0

3解得1y因为ab1c,所以a2b22ab1c22c，而ab1c 所以abcc，所以a，b为方程x2(1c)xc2c0（1）的二实根 而abc，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记f(x)x2(1c)xc2c，则 22220,1c1c0。解得c,32f(c)0[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】

3.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

4.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题 中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4.构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【作业布置】