证明不等式的几种方法_不等式证明的几种方法

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证明不等式的几种方法

黄启泉

04数学与应用数学1班30号

近几年来,有关不等式的证明问题在高考、竞赛中屡见不鲜，由于不等式的证明综合性强，对学生的思维灵活性与创造性要求较高，因此，许多考生往往“望题生叹”，本人通过对该类题目认真分析与研究，总结以下几种解题方法，下面结合一些热点题加以简要的介绍。

1． 运用重要不等式法，一些重要不等式如均值不等式，柯西不等式等在证明一些不等式题目中往往能取得一种立杆见影的效果。1.1运用运用均值不等式

例1，已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

证明：由a,b,c,d都是正数，得

abcd20,acbd2

0.

(abcd)(acbd)

abcd.即(abcd)(acbd)4abcd 1.2运用柯西不等式

例2.设a,b,x,y,kR,k1,且a2b2

2kab1,x2

y2

2kxy

1.axby

证：因为a2

b2

2kab1,所以

(a-kb)2

2

1(1)

同样的，2(kx-y)2

1(2)运用柯本不等式式解：

（1）左*（2）左[(akb(kxy)]

axby)

故axby

成立

2．配凑常数法

常数在不等式证明当中有着举足轻重的作用，充分发挥好常数的“过渡”功能，将使证明的解决如虎添翼。例3.已知a,b,cR，求证

acb+c

bca

ab

32

证明，给每个式子配以常数k有

a

bcb+cca

ab3(a

bcb+c

1)（ca1)(ab1)(abc)(1b+c



1ca



1ab)1112[(bc)(ca)(ab)](b+c

1ca



ab)

12(111)



所以

abb+c



ca



c9ab



3

32，当

abc时，可以取等号，故命题得证。

3.待定系数法

当直接运用重要不等式较难达到目标时，有时可引入参数作为待定系数再根据题意解方程达到目标。

例4.设x,y,z是不全为零的实数，求

证

xy2yzx2

y2

z



证：对不等式左边分子式分母直接运用均值不等式显然达到目标，为此引入待定系数a,b从而有：

xy2yz2







2

1zb



a1x2

y221222abybz

a

2x2

1212abyz2

b令a1b

1即ab2

2a

b

解

xy2yz

x

y2z



即

xy2yzx2

y2

z



4.向量法

向量做为中学数学一种新的工具，具在证明不等式中有时能达到异曲同工之效。例5.已知x,y,z是非负实数，具x+y+z＝1求证：

证：构造向量：a

xy,x,y,byz,y,z,则

c

zx,z,x.abc(2,1,1),由abcabc



代入原式成立易知xyz13

时取等

号。

5．倒数变换法

这里所说的倒数变换是指将每一个字母都用其倒数的形式来代替，对一些分式不等式采用这一变换后，有时可将式子的结构化简从而为不等式的证明找到契机。

例6.已知abcR,且abc1,求证：

11a

bc



b

ac



1c

ab



证：

令A＝

1a,B

b,C1



c,则

A，B，CR，且ABC＝1

此式左边＝

A+B+CA+B+C+B+CB+C

+

A+C

+

AA+B

－3

＝12B+C+A+C+A+B1

11++B+CA+CA+B3

92－3＝32

即原命题得证 注：倒数变换方法实质是通过变换达到化繁为简的目的，或将不熟悉的不等式转化为熟透的不等式，需要注意的是，变量代换后的取值范围可能有变化

6分母置换法

一般地，在分子不等式中当一个分式的分子较简捷而分母相对较复杂时，通过对分母进行代换可以使解题思路变得更顺畅。例

7.已知abc，R求证

a



bcb3c

8c

49a

347

a2。b 48

证：令b3

c,则

x



a9cb3c

b8c4a



3a2b



1y4x1z98yx614zxz

9z61

x16yz48

由均值不等式解

1y4x1z9x14z8xy9y61

6xz

16yz48118*4

16*6

16*12

61484748

当且仅当y2x,z3x时取等号。

故原命题得证。

7.数形结合法

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又提示其几何直观使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形像巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，有时能使问题化难为易，化繁为简。例

8.已知x0,x2



yz2

1,求证：5

xy

6

证：令z

xy



4z2



x

2

x2

y



该式，的分子可视为点P,x

y到

直

线

lx

0的距离平方，分母可视为

P点与原点的距离平方，因此利用几何意义将原问题进行代换，作PA⊥l于点A设

∠AOP

60o

90o,PA

易知

OP

以

sin＝

PAOP,sin1

此时－2＝4s2

in，可

3得4当.x0y,时0取最小值,5.当x,y32

时，取最大值。

56即命题得证.8行列式法

这是一种比较特别又新颖的解法，虽然不常见，但有些不等式题采用此法可以显得很容易。例

9.若,,R,求

证



3s

insin



i

n证

:

令

usinsinsin

则

usincossincossincos

sincossincossincos

sin

cos1sin

cos1sin

cos

构

造

点

As

Bi





C

ns

则uSABC

n

很明显,上面三点A,B,C都在单位圆

x2

y2

1上因为圆内接三角形以正三角

形的面积最大所以当ABC为正三角形时,SABC取得最大

值,于

是

u

故命题得证.9.三角换元法

三角函数蕴涵着丰富的公式与性质,求运用这些公式与性质巧妙地解决某些不等式的证明问题 例

10.设正数a,b,c,x,满y足z

cybza,azcxb,bxayc求证:

x

y1x



1y



z

1z



证:由

条

件

解ba

z

x

b

c

0即b 2

bcxa2

b2

c2

0故2

x

bca

2bc

同

理

可

得y

c2

ab

bca

2ac,z

2ab

因a,b,c,x,y,z均为正数,综合上面3式可得

b2

c2

a2,a2

c2

b2,a2

b2

c2

故以a,b,c为边长可构造一个锐角三角形.令xcosA,ycosB,zcosC 则

原

不

等

式

转

化为cos2

Acos2

Bcos2





C1cosA

1cosB

1cosC



又令

ucotA,vcotB,wcotC.则u,v,wR,uvvwwu1

u2

1uvuw,且v21uvvw,w2

1uwrw,因

此

w

cos2

A2

1cosA

1

x

a

yc



a

u2u



2

bza

3u2



u

u2

u11

2uvuw



cos2B

v3

11

同理

1cosBv2uvuw



cos2

C3

111cosC

w

w2uw

vw



所

以

不等式左边

u2

v2

w2

1u3v3w3v3u3v3

2uvuvuv



u2v2w2

1

u2uvv2v2vww2u2uvw22



12

uvvwuw

当且仅当uvw时等号成立 此时abc,xyz12

故原命题得证.10.局部突破法

对于和式型不等式,不妨先研究局部性

质,导出一些局部不等式,再综合运用这些局部不等式推断出整体性质.例11.设x,y,zR

且x4

y4

z4

1.求

证

x

3z

31x



y

31y



1z



.证.先求x1x8的最大值.注

意

到

8x

1x



8x

1x8

1x8



1x

8个



9

8x881x8

89

9

因此x

1x



x

从而

x4



1x8



x

x

1x





8同理y

y4

z

3z4

1y



1z



故x

1x



xy3

z



当且仅当xyz.故原不等式得证.11.利用配对法

如果不等式AC中式子A的各项为形如

m

mn的和形式,则配上对应项为

n

mn的式子B,那么AB必定是一个整

式形式,再对AB进行适当变化有时可以找到解决问题的办法.例

12.已知x

1xxnR2,且xxxn1

.求证

x2

n

1x

x1

1x

x2

1x

1n

n1

.n

证明:令不等式左边=A,B

1

则

i1

1x

i

n

BA

1x2n

i



(1xi)n1

i11x

ii1n

n

222

BA



1xi

11nxi

i11x



n2

i

i1n(1xi)

n

n





n12nxi2

n22n11i1

n(1x



i)

i1

n2

1x2

in



n2n1

n2

B2

A

2n1n

B2

2n1

n

n1A2

从而易推得A

1n1

使原不等式成立.有时,不等式中的各项是

mmn

(其中

m为常数)的形式,此时可先将其化为

1m

mn

或

mn的形式,然后再应用上述配

对方法.12.引入复数法

复数的代数形式,三角形式与几何形式将代数,三角与几何进行有机地结合.因此,巧妙运用复数的性质也可以使很多问题”柳暗花明”

例13.若x,y,zR

且xyz1.求证

:

证

:

经

配

方

解

x2y2

xy12

x2y2 

同理:y2z2

yz1yz22z

2

x2

z2

xz

1zx2x

2

1

构造复数：z1xyyi,22

1

z2yzzi,221

z3zxxi

22

解z1z2z2z1z2z332



xyz

xyzi

(当且仅当xyz

时,等号成立)

故命题得证.当然不等式证明方法远不止这些,不过从上面这些证法可以看出遇到不等式证明定要想办法把它向我到熟悉的不等式转化,这是各种证法的共同特征，应该说也是证明所有不等式的共同突破口。

参考文献：

[1]中学数学研究 2007.1 [2]中学教研 2007.11 [3]中学数学教学 2007.6 [4]高中数学 2007.5