巧用二元均值不等式证明一组优美不等式_均值不等式的巧用

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巧用二元均值不等式证明不等式

江苏省常熟市中学

査正开 215500

*** zhazhengkai3@163.com

二元均值不等式是高中数学的重要内容，也是后继学习的基础。利用二元均值不等式求函数的最值和求参数的范围问题一直是高考的重点和热点，同时二元均值不等式也是证明不等式的利器。本文将利用二元均值不等式来巧证两组优美不等式，供参考。题1已知a,b,cR，则

（1）（2）（3）

bbcc

aaabb

acaca

a



caca

b



aabb

c

abc当且仅当abc时取等号





bbcc

baabb

b



ccaa

cbbcc

c

abc当且仅当abc时取等号



abc当且仅当abc时取等号

证明：（1）a,b,cRbbcc(bc)bc3b(c

bbcc

a

2)

b(c)

(bc)4

a

(bc)4a

abc

aabb

c

同理

caca

b

baccab

三式相加，再注意等号成立条件，即得原不等式成立。

（2）证法1：仿（1）

证法2：

aabb

a



bbcc

b

ccaa

c

a

b

abac

bcb

c

c

a



cabca

b

c

aa

bb

a

2bbc

bb

b

2cc

c

2a

b

a

c

a

c

2b2c2 a 即

a



c

b



a

c

bca

故原不等式成立

（3）证法仿（1）（2）题2.已知a,b,cR，则（1）（2）（3）

aabb

accaa

abbcc

a



bbcc

baabb

b



ccaa

cbbcc

caabb

c

3(abc)当且仅当abc时取等号3(abc)当且仅当abc时取等号

ccaa

b

222

3(abc)当且仅当abc时取等号

证明：（1）证法1：左=ab

b

2(abc)a

b

a

bccb

c

b

ca3(a

b

a

c

ac

c)（由1（2）结论）

证法2：a2abb2

aabb

a

(ab)

3

(ab)4a

同理：

(ab)4a

bbcc

b

3

(bc)4b

ccaa

c(ca)4c

3

(ca)4c

aab

(bc)4b(ca)4c

bbc

cca

(ab)4a



(bc)4bbb



abc



aabb

a



bbcc



ccaa

c

3(abc)

（2）证明仿（1）（3）证明：左=

ab



bcac



c

a

a

c

b



cab

c

a

b



a

cb



abcb



b

c

bcacabaabc

=（（

a

+



b

+

c）+（cababc

a

+

a

+

abc

c）+（bca）3(abc)

abc

abc）

bca

cab

2c，2a，

2b，

bccab