证明不等式的方法[优秀]_浅谈证明不等式的方法

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以下讨论的字母除特殊声明都是正数

由于本人懒打字，理由是为了清晰一点，简记一下东西：比如∑ai里字母i是下标，表示a1+a2+...+an，∑a/(b+c)表示循环求和,=a/(b+c)+

b/(c+a)+ c/(a+b)

1.基本不等式

记G(x)=((∑ai)/n)^(1/x)

规定G(0)=(a1a2...an)^(1/n)即几何平均

那么G(1)就是算术平均,G(2)就是平方平均,G(-1)就是调和平均

G(2)≥G(1)≥G(0)≥G(-1),可以证明G(x)是增函数

2.(a1+a2+a3)^2 ≥3(a1a2+a2a3+a3a1)

3.柯西不等式推广-分式不等式

(ai)²(∑ai)²

∑----≥-----

bi∑bi

能秒杀了大量高中选/填题

4.定义在在某区间内的函数f(x),d>0

若二阶导数f''(x)

f(x+d)-f(x)f(x)-f(x-d)

-----------

dd

若二阶导数f''(x)>0,则上面的

特别地取d=1,估算f(1)+f(2)+f(3)...的范围时候就有用了(其实是∫

要适应高中的书面表达的话，只要说“以下证明该不等式”，不用把什么二阶导数的拿出来

5.几何意义

定义在R

_______________________

√a²+b² +√c²+d² ≥√(a+c)²+(b+d)²

取等条件:(a,b),(c,d)与原点共线即a/c =b/d

_________________

★√2x²-6x+5 +√2x²-14x+25最小值？

__________________________

配方成√(x-1)²+(x-2)²+√(x-3)²+(x-4)²

6.高考压轴题的不等式似乎流行递推型，以上所有不等式似乎没多大用，只能靠自己妙手偶

得了，多收集一下高考题吧。

特殊类别的:

对任意n证明an>常数,试试构造出an-常数的递推式

证明a1+a2+...+an >常数 , 试试找出a1>等比数列

有一些不是递推型的，涉及超越函数类的不等式

比如

sinx≤x , e^x≥1+x , 1/x-1 ≤lnx ≤ x-1等等

上面的还有范围限制哦，反正背也没多大用，需要用的时候自己推导。

竞赛级别,不等式证明好像渐渐不常见了。不过它如同几何题，需要的是独具匠心的构造。变形有两大类，恒等变形和不等变形。

7.凸函数（又名Jensen)不等式

从图像上看有明显的几何意义：在定义域内如果

若f''

---------------------≤ f(--------------)

nn

取等当a1=a2...=an

若f''>0则≤改为≥

例子太多了...有一些样子像凸函数，可是f''的正负不恒定(欲扁命题人）

★设x,y,z>0，且x+y+z=3m≤1，求证：（1/x^2y)(1/z^2m]^3

原本打算是两边取对数后就像凸函数不等式了，可是事实不然，只是略微用了凸性：

原题≤>

(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)(1-m^3)^3

---------------------≥-----------

x²y²z²(m^2)^3

分母可以比较

尝试证(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)≥(1-m^3)^3

由凸函数ln(1-x^3)性质即可

8.换元法之一元换多元

★cos²A+cos²B+cos²C=1_

求证:tanA+tanB+tanC≥3√2

已知A,B,C三角均为锐角

类比长方体的对角线与侧面所成角中有cos²A+cos²B+cos²C=1 ,可令cosA=a/√（a^2+b^2+c^2),则tanA=√（b²+c²)/a

然后直接均值不等式

____

★还有一个xyz=1证明∑1/√1+8x

如果换元成1/√(1+8x)=a/√(a²+8bc)那么就是某IMO题了，见后面零件分析法

9.换元法之多元换一元

你自己想例题嘛，多的是(-_-')换后的一个方向就是用凸函数不等式

10.换元法之反代

★ a^2+b^2+c^2=1,证明∑ab/c≥√3

设ab/c=x,则条件换为xy+yz+zx=1,再用第2招！

11.邻项合并

★ a,b,c>0证明ab/c +bc/a+ ca/b ≥ a+b+c

ab/c +bc/a ≥2b,求和再除以2即可

12.单项分解

★ 正数a,b,c,a+b+c=1,证明(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

1-a=b+c≥2√(bc)

★正数a,b,c,a+b+c=1,证明(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

(1+a)=(1-b + 1-c)≥2√((1-b)(1-c))

13.零件分析法

这方法可是有名了(上网找)，主要思想就是A +B ≥C 则得到零件不等式 A ≥C-B，两边求和的时候∑C-B能便于取得最值，从而解决问题。要

注意的是：要顺着取等条件来构造。

★x+y+z=1，求证1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)≤2.7

证明1/(x^2+1)≤1.1-0.6x(0

★xyz=1，证明：（1998年第39届IMO预选试题）

x^3y^3z^33

--------+------------+------------≥-----

(1+y)(1+z)(1+x)(1+z)(1+x)(1+y)4

x^3/(1+y)/(1+z)+(1+y)/8 +(1+z)/8 ≥ 3x/4,叠加整理即见。

_______

★a,b,c>0证明∑√a/(b+c)≥2

_____________

√a/(b+c)=a/√a(b+c)≥2a/(a+b+c)

★证明∑a/√(a²+8bc)≥1

提示一下吧，寻找常数k使 a/√(a²+8bc)≥ a^k/(a^k+b^k+c^k)(有点像通分吧）

还有很多例子。。因为那是取自我的藏经阁，而前面的因为觉得简单所以没藏好例子，只能一话带过。

14.恒等变形。需要强大的代数运算能力...★a,b,c>0,abc≤1,证∑(a+b)/c ≥2(a+b+c)

∑(a+b)/c =(∑a)(∑1/a)-3 ≥3∑a-3 =2∑a +∑a-3 ≥2∑a +3-3

★a,b,c>0证:∑1/a ≤(∑a^8)/(abc)^3

证明a8+b8+c8≥a3b3c2+a3b2c3+a2b3c3

只需要证明

3a8+3b8+2c8≥8a3b3c2

3a8+2b8+3c8≥8a3b2c3

2a8+3b8+3c8≥8a2b3c3

相加即可

15.没能叫出名字的方法

不等式证明如下棋，棋子走法有常规也有非常规，千变万化不能用一言概括。。而且这里列的不等式还算比较容易了，更高级别的不敢弄出

来了。

★特值法(?):已知实数a,b,c,x,y,z满足

(a+b+c)(x+y+z)=3

(a*a+b*b+c*c)(x*x+y*y+z*z)=4

求证 ax+by+cz大于等于0

把a,b,c乘上一个数，同时x,y,z除以一个数不影响结论，所以可设

a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2=2

(a+x)^2+(b+y)^2+(c+z)^2≥(a+b+c+x+y+z)^2/3≥4(a+b+c)(x+y+z)/3=4

展开得ax+by+cz≥0

★暴力法:这个算得好辛苦，不想展示了，要看的就点http://post.baidu.com/f?kz=229750254

★这题莫名其妙的比较大小...换元后求算∑√(xy)最大值，经试验，缩放到算术平均是不能取最大值...1/A+1/B+1/C=2 A,B,C≥1 证明 SQRT(A+B+C)≥SQRT(A-1)+SQRT(B-1)+SQRT(C-1)换元A=x+1等等,两边平方等价整理成 3/2 ≥ ∑√(xy)= s

把已知条件通分整理得

1=2xyz + t² ≤2/√(27)* t^3 +t²(1)

其中t=√(xy+yz+zx)≥ √(3)*(xyz)^(1/3)

(1)≤>(t-√3/2)(t+√3)²≥0...其实利用取等条件可以看出根的即t² ≥ 3/4(2)

然后条件变形:

2=∑yz/(xyz+yz)

≥ s²/(∑(xyz+yz))

=s²/(3xyz + t²)

=s²/((1-t²)/2*3 + t²)根据(1)式

=s²/(3/2-t²/2)

≥s²/(3/2-3/8)根据(2)式

然后就行了