不等式证明20法[1]_不等式证明20法

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不等式证明方法大全

1、比较法（作差法）

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

abab。例

1、已知：a0，b0，求证：

2ababab2ab(ab)2

ab。证明：ab0，故得22222、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例

2、求证：71。

证明：要证571，即证122162，即2，35194，416，4，1516，由此逆推即得571。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同号，求证：2。ba

证明：因为a，b同号，所以abababab0，0，则22，即2。babababa4、作商法（作比法）

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助

商——变形——判断（大于1或小于1）。

例

4、设ab0，求证：aabbabba。

aaabba证明：因为ab0，所以1，ab0。而bababbabaa1或1来判断其大小，步骤一般为：作bb1，故aabbabba。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例

5、已知ab0，n是大于1的整数，求证：ab。证明：假设a，则bb1，即1，故ba，这与已知矛盾，所以a。aa6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例

6、已知：求证： a1b1a2b2anbn1。a1a2an1，b1b2bn1，证明：因为a1a2an1，b1b2bn1，所以a1a2an1，b1b2bn1。由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn111，所以原不等

22222

2222222

式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

1359999

0.01。例

7、求证：

***

证明：令p，则

24610000

***32999921

1p222，222

22461000021411000011000110000

所以p0.01。

8、数学归纳法

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对

n取第一个值以后的自然数都能成立。

例

8、已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1。证明：（1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；（2）若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(akbk)abkbk1a(ak1babk1)abkbk

1=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk，即ak1bk1akbabk成立。

根据（1）、（2），anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例

9、已知：abc1，求证：abbcca。

1证明：设at，bat(tR)，则c(1a)t，33

3111111

abbccatatat(1a)tt(1a)t

33333311

(1aa2)t2（因为1aa20，t20），33

所以abbcca。



10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例

10、已知：a2b21，x2y21，求证：axby1。证明：设asin，则bcos；设xsin，则ycos 所以axbysinsincoscoscos()1。

11、判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例

11、设x,yR，且x2y21，求证：yaxa2。证明：设myax，则yaxm

代入x2y21中得x2(axm)21，即(1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，即(2am)24(1a2)(m21)0，解得ma2，故yaxa2。

12、标准化法

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

；当x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)的值越大（或不变）

x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinn

x1x2xn。

n

AB。

2标准化定理：当A+B为常数时，有sinAsinBsin2证明：记A+B=C，则

f(A)sinAsinBsin2

ABC

sinAsin(CA)sin2，22

求导得f`(A)sin(C2A)，由f`(A)0得C=2A，即A=B 又由f``(A)cos(BA)0知f`(A)的极大值点必在A=B时取得 由于当A=B时，f`(A)0，故得不等式。同理，可推广到关于n个变元的情形。

ABC

1sinsin。2228ABC11

证明：由标准化定理得，当A=B=C时，sinsinsin，取最大值，故

22228

ABC1sinsinsin。2228

例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：sin13、等式法

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为ABC的三边长，求证：

2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

证明：由海伦公式SABC其中p

(abc)。

2两边平方，移项整理得

p(pa)(pb)(pc)，16(SABC)22a2b22a2c22b2c2a4b4c4 而SABC0，所以2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

14、函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例

14、设xR，求证：4cos2x3sinx2。

831

证明：f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx

248当sinx

31时，f(x)取最大值2； 48

当sinx1时，f(x)取最小值－4。

故4cos2x3sinx2。

815、单调函数法

当x属于某区间，有f`(x)0，则f(x)单调上升；若f`(x)0，则f(x)单调下降。推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f`(x)g`(x)即可，x[a,b]。

例15、0x，求证：sinxxtanx。

2证明：当x0时，sinxxtanx0，而



(sinx)`cosx1x`sec2x(tanx)` 故得sinxxtanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f`()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的。

例

16、求证：sinxsinyxy。

证明：设f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin`(xy)cos 故sinxsiny(xy)cosxy。

17、分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

1例17、n2，且nN，求证：1n(n11)。

23n

证明：因为1

111111

n(11)111 23n23n

2

所以1

34n134n

1n2nn1 23n23n

n(n11)。23n18、构造法

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明

快、以巧取胜的目的。

例

18、已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2。证明：依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以z1z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(x2y2)2axyImz1z2z1z2

2

故b(x2y2)2axy2。

19、排序法

利用排序不等式来证明某些不等式。

排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

其中t1,t2,,tn是a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn，1,2,,n的一个排列。当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号。

简记作：反序和乱序和同序和。

例

19、求证：a2b2c2d2abbccdda。

证明：因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大，即

a2b2c2d2abbccdda。

20、几何法

借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。

ama

。例20、已知：a,b,mR，且ab，求证：

bmb

证明：以b为斜边，a为直角边作RtABC

延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn，aABam

所以

bACbn

amama

。又CECF，即nm，所以

bmbnb

E

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。

在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。