构造法与放缩法在不等式证明中的运用_用放缩法证明不等式

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构造法与放缩法在不等式证明中的运用

例1：设函数fxx(x1)ln(x1)(x1).（1）求fx的单调区间；

（2）证明：当nm0时，1n1m；

（3）证明：当n2012且x1,x2,x3,,xnR，x1x2x3xn1时，11222x3xnx12x21()n()2012 1x11x21x31xn2013mn

解：（1）f'x1lnx11lnx1由lnx10得lnx10 lnx1ln1，0x11，1x0，即当1x0时f'x0，fx在 1,0上单调递增；由f'x0解得x0即fx在0,上单调递减。所以fx的单调增区间为1,0；fx的单调减区间为0,.（2）由（1）得，当x0时，fxf00，由nm0有1n0，m1mn0，要证1n1m，只需ln1nln1m，即只需证 mnmn

只需mln1nnln1m，ln1nln1mln1x,x0 于是设gxxnm

1xx1lnx1lnx1xx1lnx1g'x 222xxx1x

因为fxxx1lnx1,x0由（1）知fx0，而x1x20 所以g'x0，所以gxln1x,x0在0,上单调递减，x

由0mn有gmgn，所以ln1nln1m，所以 nm

mnmnmln1nnln1m，所以ln1nln1m，所以1n1m.（3）从已知的条件中会让我们联想到柯西不等式



x1x2xn1

xnx12x2

()(n1)1 1x11x21xn

221122xnx12x21xnx12x21

，即()n()n，1x11x21xnn11x11x21xn1nmn

由（2）有(1n)(1m)，令m2012得(1n)

20122012n

n2012n

1n

12012

2012

(12012)n，于是

(1n)

(12012)

23，即(1n)2013

2n

1n

1n

111)n()2012，所以(1n2013

12012

xxx11x

1x1x1x1x1n2013123n

xxx1x故

1x1x1x1x2013123n

2n

1n

12012

xnx12x21

不等式来源于人教A版选修4-5不等式选讲第1x11x21xnn1

41习题3.2中的第6题.下面的例2也是利用了课本上的结论去证明有关的问题。

lnxk

例2：(2012山东)（本小题满分13分）已知函数fx(k为常数，e=2.71828…是

ex

自然对数的底数)，曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行。(1)求k的值；

(2)求fx 的单调区间；

(3)设gxxxf'x，其中f'x为fx的导函数，2

证明，对任意x0，gx1e。



(1)解：由fx

lnxk1kxxlnx

f'x，得，x0,，exxex

由于曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行，所以f'10，因此k1。(2)解：由(1)得f'x

1xxlnx，x0,，xxe

当x0,1时，hx0；当x1,时，，令hx1xxlnx，x0,hx0，又ex0，所以当x0,1时，f'x0；当x1,时，f'x0，因此fx的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,。(3)证明：因为gxxxf'x，所以gx

2

因此，对任意x0，gx1e等价于



x1

1xxlnx，x0,，ex

x1

1xxlnx1e2 xe

ex

1e2，即1xxlnx

x1



由(2)知hx1xxlnx，x0,，所以

1

h'x11lnxx2lnxlne2lnxlnxlne2，x0,

x



当0xe时，h'x0，hx单调递增，2

当e

2

x时，h'x0，hx单调递减。

2

22222

所以当xe时，hx的最大值为he1eelne1e



因此hx1e

2，即1xxlnx1e

2

ex

1e2还相差一个倍数关系，这个不等式与要证的不等式1xxlnx

x1



ex

1，即要证exx1，比较这两个不等式可知还需要证明（这个不等式在人教A x1

版的课本练习题中有关于它的证明）于是设xex1，因为

x

'xex1exe0，所以当x0,时，'x0，x单调递增，x0e010，ex

1 故当x0,时，xex10，即ex1亦即

x1

x

x

所以1xxlnx1e

2

ex1e2，x1



因此对任意x0，gx1e2。