高考数学证明法高二_高考数学证明题方法

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數學证明法（高二）

明确复习目标

1．理解不等式的性质和证明;

2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

建构知识网络

1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；

（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 a1。b

说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；

②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；

2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。

5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。

经典例题做一做

【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a

a

22b22（2）设a0,b0,求证()()a2b2.ba

【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.111

1【例3】已知ABC的三边长为a,b,c,且m为正数.求证:abc.ambmcm

【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1.a

（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；

（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜x1.2【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.提炼总结以为师

1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。

【解答题】

y11x7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞ abxayb

(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．

8．己知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2.9.设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x2y



附錄：不等式基本概念

一．考试要求：

(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明；②解不等式；③取值范围的问题；④应用题.三．基础知识:

1.常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

333（3）abc3abc(a0,b0,c0).（2）a,b

R

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.2.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

3.一元二次不等式axbxc0(或0)212s.4(a0,b24ac0)，22如果a与axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解

集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).4.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.xax2a2xa或xa.5.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)

(2)当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

三．基本概念

1、不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若ab,cd，则acbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd

若ab0,0cd，则ab； cd

nn（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则a

b

（4）若ab0，ab，则1111；若ab0，ab，则。abab

2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

4.常用不等式有：

(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1222（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；

bbm（3）若ab0,m0，则（糖水的浓度问题）。aam5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

6.简单的一元高次不等式的解法：

标根法：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

8.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

11.含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有

0|ab||a||b|||a||b|||ab|；

a、b异号或有

0|ab||a||b|||a||b|||ab|.12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB