不等式3(基本不等式应用与证明)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“基本不等式证明”。
学习要求大成培训教案（不等式3基本不等式证明与应用）基本不等式
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.１． 算术平均数：几何平均数
２． 设a≥0,b≥0则a+
b
2【精典范例】
例1．.设a、b为正数,求证明：
a+b³
2点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式a+b³2(a≥0,b≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2.利用基本不等式证明下列不等式：
(1)已知a>0,求证 a+
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证:(1³2(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz
点评：1..基本不等式的变形公式：
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,„,n),则
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２
２．已知a>1求证a+
３． 已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:
第2课时
p2
1≥3３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥
3a-1
a． abc
学习要求
1.理解最值定理的使用条件：一正二定三相等． 2.运用基本不等式求解函数最值问题．
１． 最值定理：若x、y都是正数，(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值．
２．最值定理中隐含三个条件：． 【精典范例】
例1．(1).已知函数y=x+
51(x>－2), 求此函数的最小值.(2)已知x
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求
+的最小值.xy
例2.（１）求
2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求
11+ xy的最小值．
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．
２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
追踪训练一
1.2.3.已知x>1 ,0
【选修延伸】
利用函数单调性求函数最值.例3:求函数
9求函数y=4x+
2x
1+x2的最小值；已知x
x的最大值；
已知x , y∈R, 且+
xy
+
-x2+
3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值；
x+2
yx
(x4)的最小值.x2
思维点拔：
利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.追踪训练二
求函数
第3课时
y
sin2x的最小值.2
sinx
学习要求 1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。
2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.【精典范例】
例１．（１）已知a,bÎR+,且a¹b，求证：a3+b3>a2b+ab2
（2）已知
a
a+b
1+ab
追踪训练一
１． 已知a,b,mÎ
R+,且a
a+ma
>．
b+mb
２．已知a,b,cÎR,且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca3
例２.（１）已知a,b,cÎ(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于
1．4（２）已知a
+b2=1,x2+y2=1，求证：ax+by 1
（３）求证：
a+b1+a+b
?
a1+a
b1+b
追踪训练二
1．求证：1+
111+++
学习要求
1． 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值． 【精典范例】
例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)．
例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?
例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.选修延伸：
先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．
追踪训练
１．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大?
1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。.设x>0时, y=3－3x－的最大值为______________x
【精典范例】
例１．过点(1 , 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当△AOB的面积最小时, 求直线l的方程
例２．如图(见书P93), 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a的空白, 顶部和底部都留有宽为b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小?
练习1过第一象限内点P(a , b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当直线l的方程.2汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式: S=
PAPB
取最小值时, 求
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v+v, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之408
间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v函数关系式;(2)问v为多少时, 经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?
