排序不等式及证明_排序不等式的证明

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四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2，，an（1）b1，b2，，bn（2）满足

a1a2an（3）b1b2bn（4）另设

,cn（5）c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和Sa1bna2bn1anb1 乱序积和S'a1c1a2c2ancn 似序积和S''a1b1a2b2anbn 那么

SS'S'' 且等式成立当且仅当a1a2an

或者

b1b2bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B00，Bk那么

n

b,i

i1

n1

akbkanBn(ak1ak)Bk

k1

k1

事实上：

n

n

akbk

k1

a

k1n1

k

(BkBk1)an(BnBn1)an1(Bn1Bn2)a1B1

anBn(anBn1an1Bn1)(an1Bn2an2Bn2)(a2a1)B1anBn(ak1ak)Bk

k1

引理2设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有

k

k

k

bicibni1

i1

i1

i1

引理3设实数组（2）满足（4），那么

kk

bibni1

i1

i1

若存在1kmn使等号成立当且仅当b1b2bn

2，证明首先：

SS'a1(bnc1)a2(bn1c2)an(b1cn)不妨设

k

B00,Bk

(b

i1

ni1

ci)

那么由引理2，有Bk0,Bn0

则由Abel变换以及aiai1，得到(ak1ak)Bk0 所以

n1

'

n1

SSanBn(ak1ak)Bk(ak1ak)Bk0

k1

k1

即SS 同理，设

'

B00,Bk

''

k

(c

i1

i

bi)

则可证

S'S''a1(c1b1)a2(c2b2)an(cnbn)

n1

(ak1ak)B'k0

k1

要使得等号成立，即 SS'S''

则对k1,2,,n1,有

(ak1ak)Bk0

(ak1ak)B'k0 那么有下列两种情形：

(i)a1a2an

(ii)存在1mn1，使得a1a2am,amam1 这时必有

'

Bm0,Bm0 从而

m

m

ni1

m

ni1

Bm

(b

i1

ci)

b

i1

ci0

i1

Bm 所以

m

'

mm

i

m

i

i

(c

i1

bi)

cb

i1

i1

0

bni1

i1

b

i

i1

m

由引理3得

b1b2bn