高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之导数与推理与证明student_导数推理证明含答案

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高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明

【基础回归】

1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，„，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A．289B．1024C．1225D．1378

2．在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则（）A．1a1B．0a2C．1a3D．3a1 222

23．已知数列{an}满足a10,an1

an3an1(nN*)，则a20=（）A．0B．3C．3D．/2

2231151117,122,1222，„，则可归纳出式子为（）2342323

41n24．观察式子：1A．1

C．112213212n12n1nB．1D．11221321n212n11

221

321

n21

221

321

n22n 2n1

315．设n为正整数，f(n)111„，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)5，f(16)3，2n22

37f(32)。观察上述结果，可推测出一般结论（）2

A．f(2n)n22n1B．f(n2)n2C．f(2n)D．以上都不对 222

26．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2 成立时，总可推出f(k1)≥(k1)

成立”，那么，下列命题总成立的是若（）成立

A．f(1)1成立，则f(10)100B．f(2)4成立，则f(1)≥1

C．f(3)≥9成立，则k≥1时，均有f(k)≥k2D．f(4)≥25成立，则k≥4时，均有f(k)≥k2

7．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，bS，对于有序

元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是（）

A．(a*b)*aaB．[a*(b*a)]*(a*b)aC．b*(b*b)b

则必有（）

A．bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法证明：722。

B．af(b)≤bf(a)C．af(a)≤f(b)D．bf（b)

≤f(a)D．(a*b)*[b*(a*b)]b )上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，8． f(x)是定义在(0，宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

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〖例2〗用三段论证明函数yx22x在（－∞，1]上是增函数。

222〖例3〗已知：sin30sin90sin15033222； sin5sin65sin125。22

通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明。

22xy〖例4〗已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:221(ab0)上关于原点O对称的两个点，点P是 ab

椭圆C上任意一点，且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)，则kPM·kPN是与点P位置无关

x2y2的定值。试写出双曲线E:221(a0,b0)的类似性质，并加以证明。ab

【思维训练】

1．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

① a122220；②(ab)a2abb；③ 若|a||b|，则ab；④ 若aab，则ab。a

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

2())≥0，2．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x则f1

f(0)的最小值为（）

A．3B．5/2C．2D．3/2

3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个

四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_____

21114.已知函数f(x)x，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()____________ 2341x2

5．在△ABC中，射影定理可以表示为abcosCccosB，其中a,b,c分别为角A、B、C的对边，类似以上定理，在四面体PABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，，，分别表示面PAB、面PBC、面PAC与底面ABC所成角的大小，请给出一个空间四面体性质的猜想：________________

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