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由实验、猜想，到探索、证明
河北欧阳庆红
如图1，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？
此题可以由同学们通过实验、猜想而直接得出结论，随着学习知识的深入，可以对此题进行探究、推理、证明，从而起到拓展思路的作用．
探究一：探究多解
已知：如图2，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明1：连接AC，由三角形中位线定理可知：
HG∥AC，HG=11AC；EF∥AC，EF=AC； 2
2因为HG∥EF，HG=EF，所以四边形EFGH是平行四边形．
证明2：如图3，连接AC、BD，由三角形中位线定理可知：
EF∥AC，AC∥HG，EH∥BD，BD∥FG．
所以EF∥HG，EH∥FG．所以四边形EFGH是平行四边形．
通过探究多解，既巩固了平行四边形的性质和判定，又拓宽了同学们的解题思路．探究二：触类旁通
顺次连接以下四边形各边中点，所得到的四边形是什么四边形？你能发现什么规律？
（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰梯形（对角线互不垂直）．以上四边形的性质中，平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等;菱形的对角线互相垂直平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分；等腰梯形的对角线相等．通过证明可以证得：顺次连接以上四边形各边中点所组成的四边形：（1）为平行四边形；（2）为菱形；
（3）为矩形；（4）为正方形；（5）为菱形．
结论：从上述结论中可知顺次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状与原四边形的对角线有关．对角线相等时为菱形；对角线垂直时为矩形；对角线相等又垂直时为正方形；对角线既不相等又不垂直时为平行四边形．
探究三：知识拓展
如图4，已知△ABC与△ECF是等边三角形,P、Q、G、H分别是AE、AB、BF、EF的中点且C与G不重合．
求证：四边形PQGH为菱形．
分析：由探究二可知，四边形ABFE的对角线是解决问题的关键，连接AF、BE，易证△EBC≌△FAC（SAS）．
所以 AF=BE．故本题得证．
实践证明，此题以课本上的题目为原型，把知识灵活地辐射出去，不局限于一个思路，符合同学们的实际水平和认知规律．
