蝴蝶定理的证明及推广[优秀]_蝴蝶定理的证明及推广

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校选课《数学文化》课程论文

一蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1如图2，作OUAD，OVBC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

EUOEMO90

FVOFMO90

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。

则AUM=EOM，MOFMVC

MV又MADMCB，U、V为AD、BC的中点，从而MUA，AUMMVC

则 EOMMOF，于是ME=MF。[1]

证法2过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则FMD'EMD，MD=MD'○

1联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'CQ。又

111CFP=QB+PC）=QB+CC'+CQ）=BC'=BD'C' 22

2故M、F、B、D'四点共圆，即MBFMD'F

而MBFED M○

2由○

1、○2知，DMED'MF，故ME=MF。

证法3如图4，设直线DA与BC交于点N。对NEF及截线

AMB，NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有

FMEANBFMEDNC1，1MEANBFMEDNCF

由上述两式相乘，并注意到

-图

3NC NBNAND

FM2ANNDBFCFBFCF

得 ME2AEEDBNCNAEED

PM+MFMQ-MFPM2MF2 22PM-MEMQ+MEPMME

化简上式后得ME=MF。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4（Steven给出）如图5，并令

DAB=DCBADC=ABCDMP=CMQAMP=BMQ PMMQaMEx，MFy

SAMESFCMSEDMSFMB

1即 由

SFCMSEDMSFMBSAME，AMAEsinFMCMsinEDMDsinMFMBsin



1MCCFsinEMMDsinFBBMsinMAMEsin

D

2MFCFFB

化简得

2MEAEED

图

4aya2y2QFFPya

2

PEEQaxaxax

y2a2y2

即22从而 xy,MEMF。

xax2，证法 5令PMDQMC，QMBAMP，以点M为视点，对

MBC和MAD分别应用张角定理，有

sinsinsinsinsinsin





MFMCMBMEMDMA

上述两式相减，得

D

图

51sinsin1

sinMCMDMBMA 

MAMBMFMEMCMD

设G、H分别为CD、AB的中点，由OMPQ，有

MBMA2MH2OMcos902OMsinMDMC2MG2OMcos902OMsin

1

1于是sin0而180，知

MFME，sin0，故ME=MF。

（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

x2yaR

2直线AB的方程为yk1x，直。

线CD的方程为yk2x。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

x2yaR2yk1xyk2x0





令y0，知点E和点F的横坐标满足二次方程k1k2x2a2R20由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即，x1x2，故ME=MF。[5]

证法 7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方

程可写为

xa

y2r2

直线AB、CD的方程可写为yk1x,yk2x。

又设A、B、C、D的坐标为xi,yi,i1,2,3,4，则x1、x4分别是二次方程

xa

2k12x2r2,xak2xr2的一根。AD在y轴上的截距为

kxkxxkkxxyy

y141x1k1x124111121

4x2x1x4x1x4x1。

kkxx

同理，BC在y轴上的截距为122

3x3x2。

注意到x1、x2是

a2r0的两根，x3、x4是方程方程1k12x22ax

21kx

2axar0

22的两从

根而，所易

以

xxx1x22a

223

4x1x2arx3x4

得

图 8，xxx1x2

340即MEMF。x1x2x3x4，证法 8如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，

令BMx，CMx，则CFsinFBsinCBsin

22

CBsin

即F○

1BcosCcos

E

ADsin

○

2AcosDcos

作OUCD于U，作OVAB于V。注意到ABCD○3 由RtOUM与RtOVM可得

BADC

○4 coscos

将○3○4代入○1○2可得EF，即ME=MF。

二 蝴蝶定理的推广和猜想

（一）猜想 1 在蝴蝶定理中, P、Q分别是 ED、CF和AB的交点.如果 P、Q分别是 CE、DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM.推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、DF并延长交 AB的延长线于 P、Q.求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β;

∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ;

记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin(πδ)=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2.②

又由割线定理知PC·PE = PA·PB =(xa)(y + a)= y2-a2.代入 ②式, 得(y2-a2)x2=(x2-a2)y2.即 a2x2= a2y2.由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y.即 PM = QM.[3]

（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线(O是圆心), 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM.推论 2 已知直线 AB与 ⊙O相离.OM ⊥AB, M 为垂足.过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F.连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q.求证: PM = QM.证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K.连结 M K交 ⊙O于 G.连结 GQ, GC.由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上).又由割线定理知M E·M F = MG·M K.因此 M E = MG.③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ.④

从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆.所以 ∠MGQ =∠MCQ.又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ.⑤ 由 ③、④、⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线(也即是两条平行线), 仍可能会有 PM = QM.推论 3设点 A、B分别在两条平行线 l1、l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l1、l 2于C、D和 E、F, 连结 ED、CF交 AB于 P、Q.求证: PM =QM.证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF.又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]

结论

从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：

1.M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2.圆可以改为任意二次曲线。

3.将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。

4.去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立