柯西积分定理的一个简单证明_柯西基本定理的证明

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柯西积分定理的一个简单证明

摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。

本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。

柯西定理：假设D是C的一个开子集，是D中的一个环。假设是与零同源的，并且每个E中的D都是确定的。那么对于每一个D中解析函数f：

（1）f(z)dz0

1（2）对于任意与无关且属于D的w，有Ind(,w)f(w)(2i)

(zw)1f(z)dz

证明：考虑DDC的函数g，且对zw满足g(w,z)(f(z)f(w))/(zw)，g(w,w)f'(w)。可知g是连续的，并且对每个z,w，g(w,z)是解析的。给定h:CC，并且在D上h(w)g(w,z)dz，在E上h(w)(zw)1f(z)dz。假设CDE，由

于Ind(,w)0，则这两种h(w)的表示在DE是相等的。

那么可知h在D和E上都是可导的，所以h是整函数。由于的映射是有限的，并且E包含了的一个邻域，h(w)0时有w。这表明h是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D不依赖于。最后设u是D中g(w,z)dz=0。这样就证明了（2）

不依赖于的定点。将（2）用于函数zf(z)(zu)，计算wu的情况，便得到（1）。