正弦定理的几种证明_正弦定理的证明

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正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校迟冰邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在ABC中做单位向量

iABi(ACCB)

|sinA|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：c

sinC

a

sinA

:bsinBa

sinAb

sinBc

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在ABC中做高线CD,则在RtADC和RtBDC中

CD=bsinA,CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴CAD为Rt,且bRsinD,且a∠D∠B

∴b2RsinB,即b

sinB2R

同理:ac

sinA2R,sinC2R

∴ac

sinAb

sinBsinCD,连接AD,四面积法 SABC12bcsinA1

a

sinAabsinCb

sinB12acsinBc

sinC∴正弦定理可证：