高数中的重要定理与公式及其证明(二)_高数常用公式定理

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高数中的重要定理与公式及其证明

（二）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0 ab

推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；aabb

ⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)ab

【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。

7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

b

af(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。

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8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上ax

可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb dxa

设函数F(x)u(x)

v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。

9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。

11）罗尔定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过

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程见教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()

【点评】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函数f(x)和g(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导

f'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)f(b)f(a)。ba

【点评】：同上。