数学就悖论正论,一起来证明1=2(转)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“1加1为什么等于2证明”。
今天上数学课各种好玩的东西。于是就找到好多这个来分享一下。。
当然不是我写的。。并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了。。
而且大部分一般人都知道a-b=0不能约的。所以大家可以跳过第一条来看。
还是可以开动脑子想想关于自我指涉例句之类的东西吧。
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。
1=2？史上最经典的“证明”
设 a = b，则 a·b = a^2，等号两边同时减去 b^2 就有 a·bb^2。注意，这个等式的左边可以提出一个 b，右边是一个平方差，于是有 b·(ab)。约掉(ab 的，因为我们假设了 a = b，也就是说 aS，解得 S = 1/2。
学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。
无穷级数的力量(2)
同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令
x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
则有：
2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …
于是：
2x(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)=-1
也就是说：+ 2 + 4 + 8 + 16 + … =-1
平方根的阴谋(1)
定理：所有数都相等。
证明：取任意两个数 a 和 b，令 t = a + b。于是，a + b = t
(a + b)(ab)
a^2t·b
a^2t·b
a^2t·b +(t^2)/
4(at/2)^
2at/2
a = b
怎么回事儿？
问题出在倒数第二行。
永远记住，x^2 = y^2 并不能推出 x = y，只能推出 x = ±y。
平方根的阴谋(2)= √1 = √(-1)(-1)= √-1·√-1 =-1
嗯？
只有 x、y 都是正数时，√x·y = √x·√y 才是成立的。
-1 的平方根有两个，i 和-i。√(-1)(-1)展开后应该写作 i·(-i)，它正好等于 1。
复数才是王道
考虑方程
x^2 + x + 1 = 0
移项有
x^2 =
1等式两边同时除以 x，有
x =1/x
把上式代入原式中，有
x^2 +(-11/x = 0
即
x^3 = 1
也就是说 x = 1。
把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0。也就是说，3 = 0，嘿嘿！
其实，x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。
另一方面，x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^31)(x^2 + x + 1)= 0，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此，x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。
注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误
众所周知，+ 2 + 3 + … + n = n(n+1)/
2让我们用 nn / 2 + 1
可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。
也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/ 2 仅在 n = 1 时才成立！
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是+ 2 + 3 + … +(n-2)+(n-1)+ 1块钱等于 1 分钱？
我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：元 = 100 分 =(10 分)^2 =(0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分
用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上，“100 分 =(10 分)^2” 是不成立的，“10 分” 的平方应该是 “100 平方分”，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。
数学归纳法的杯具(1)
下面这个“证明”是由数学家 George Pólya 给出的：任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同。
对 n 施归纳：首先，当 n = 1 时命题显然成立。若命题对 n = k 成立，则考虑 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同，{#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。
这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具(2)
下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。
为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a、b，都有 a = b。
为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n，如果 max(a, b)= n，那么 a = b。
我们对 n 施归纳。当 n = 1 时，由于 a、b 都是正整数，因此 a、b 必须都等于 1，所以说 a = b。若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b)= k + 1。则 max(a1)= k，由归纳假设知 a1，即 a = b。这个问题出在，a1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。
所有三角形都是等腰三角形
别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。下面就是一个经典的几何谬论。
画一个任意三角形 ABC。下面我将证明，AB = AC，从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令 BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线交于点 P。过 P 作 AB、AC 的垂线，垂足分别是 E、F。由于 AP
是角平
分线，因此 P 到两边的距离相等，即 PE = PF。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF。由于 DP 是中垂线，因此 P 到 B、C 的距离相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD。另外，由于 PE = PF，PB = PC，且 ∠BEP = ∠CFP = 90°，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP。现在，由第一对全等三角形知 AE = AF，由最后一对全等三角形知 BE = CF，因此 AE + BE = AF + CF，即 AB = AC。
这个证明过程其实字字据理，并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上，BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部。我们可以证明，P 点总是落在 △ABC 的外接圆上。如图，P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP = 弧 PC。因此，∠BAP = ∠CAP，换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。
P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF + CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于 AC 罢了。
一个可怕的逻辑错误
下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上：
假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到
AB^2 = AC^2 + BC^
2BC^2 = CD^2 + BD^2
AC^2 = AD^2 + CD^2
把后两式代入第一个式子，有
AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2
但 CD^2 = AD·BD，因此
AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2
即
AB^2 =(AD + BD)^2
即
AB = AD + BD
而这显然成立。因此，我们的假设也是成立的。
这个证明是错误的。假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正
确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例
子就是，不妨假设 1 = 2，由等式的对称性可知 2 = 1，等量加等量有 1+2 = 2+1，即 3 = 3。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。
如此反证
下面这个有趣的故事来源于 Lewis Carroll 的一篇题为 A Logical Paradox 的小论文。
Joe 去理发店理发。理发店有 A、B、C 三位师傅，但他们并不总是待在理发店里。Joe 最喜欢 C 的手艺，他希望此时 C 在理发店里。他远远地看见理发店还开着，说明里面至少有一位师傅。另外，A 是一个胆小鬼，没有 B 陪着的话 A 从不离开理发店。
Joe 推出了这么一个结论： C 必然在理发店内。让我们来看看他的推理过程。
反证，假设 C 不在理发店。这样的话，如果 A 也不在理发店，那么 B 就必须在店里了，因为店里至少有一个人；然而，如果 A 不在理发店，B 也理应不在理发店，因为没有 B 陪着的话 A 是不会离开理发店的。因此，由 “C 不在理发店” 同时推出了 “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 两个矛盾的结论。这说明，“C 不在理发店” 的假设是错误的。
从已有的条件看，C 当然有可能不在理发店。但是，为什么 Joe 竟然证出了 C 一定在理发店呢？因为他的证明是错的。其实，“若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事实上 A 在理发店，那么这两个条件判断句都是真的。“若 A 不在则 B 一定在” 真正的否定形式应该是 “A 不在并且 B 也不在”。
自然语言的表达能力
我曾在《另类搞笑：自我指涉例句不完全收集》一文中写过：
引用
定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达（比如 ***76640000 可以表达为“二十三的阶乘”，***000000000 可以表达为“一后面二十三个零”）
证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了，矛盾。
当然，这个定理明显是错的，因为 20 个汉字的组合是有限的，而数是无限多的。这个证明错在哪儿了呢？我也没办法一针见血地道出个所以然来，大家一起来讨论吧。
有趣的是，我们有一个与之相关的（正确的）定理：存在一个实数，它不能用有限个汉字来表达。这是因为，有限长的汉字字符串是可数的，而实数是不可数的。更有趣的是，这个定理的证明必然是非构造性的。
两边同时取导数(1)
取一个正整数 N。则有
N^2 = N + N + N + … + N（N 个 N）
两边同时取导数，有
2N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = N
两边同时除以 N，得=
1数学威武！
这个推理是有问题的（废话）。随着 N 的增加，等式右边的 N 的个数却没变，因此 N^2 的增长率比等式右边更大。
两边同时取导数(2)
令 x = 1，两边同时取导数，1 = 0。哈哈！
问题出在哪儿？这里有意略去答案不写，呵呵。
链式法则也出错？
下面这个例子告诉我们，数学符号混淆不得，分清每个数学符号的意义有多重要。
定义 f(x, y):=(x + y)^2，然后令 x = uv, u + v)=(2u)^2。链式法则求的并不是 ∂f/∂v，而是 ∂F/∂v。
不定积分的困惑
我们尝试用分部积分法求解 ∫(1/x)dx。
令 u = 1/x，dv = dx
du =-1/x^2 dx，v = x
于是 ∫(1/x)dx =(1/x)x-∫ x(-1/x^2)dx = 1 + ∫(1/x)dx
怎么回事？
不怎么回事。这个等式是成立的。别忘了，不定积分的最后结果要加上一个常数 C。
记得学高数时，求一积分，两哥们儿做出来的答案差别很大，而且试了很久也没能把其中一个答案变形成另外一个。后来终于恍然大悟：他们的答案是有可能不相同的，可以差一个常数嘛！
貌似漏掉了什么
很多 Goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候很不容易注意到漏洞。
让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论： π^e 是一个有理数。首先注意到，对任意有理数 r，logπr 都是无理数，否则令 s = logπr，我们就有 π^s = r，这与 π 是超越数矛盾。
现在，假设 π^e 是无理数，也就是说对任意有理数 r，π^e 都不等于 r。这也就是说，对任意一个 r，logππ^e 都不等于 logπr。由前面的结论，logππ^e 就不等于任意一个无理数。但 logππ^e 是等于 e 的，这与 e 的无理性矛盾了。因此，我们的假设是错的—— π^e 是一个有理数。
对于有理数 r，logπr 确实是无理数；但遍历所有的有理数 r，并不能让 logπr 遍历所有的无理数，而 e 正好就等于某个漏掉的无理数。
不过，也不要想当然地认为，π^e 当然是一个无理数。目前为止，π^e 是否有理还是一个谜。
