Jensen不等式的证明和应用_jensen不等式的证明

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Jensen不等式的证明和应用

1.设x在a,b内二阶可导，且x0，则

p1x1p2x2pnxnp1x1p2x2pnxn



pppppp12n12n

其中p1,p2,L,pn均为正数，x1,x2,L,xnÎ2.证明不等式abc

abc

(a,b)。

aabbcc其中a,b,c均为正数。

3.应用Jensen不等式证明： 1）设aj0j1,2,,n有

n

++L+a1a2an

＃a1+a2+L+an。

n

2）设aj0,bj0j1,2,,n有

骣np鼢骣nq

ajbj£珑aj鼢bj珑邋 鼢珑鼢珑桫桫j=1j=1j=1

n

p1q,q>1,其中p>1

+=1。pq

积分不等式的证明

1.设函数fx在闭区间0,1上具有连续的导数，f01，且



f2xdx1。

1）求xfxfxdx；2）证明：xf





xdxfx

dx。

b

2.设fx在a,b上可导，且fxM,fa0，证明：



a

fxdx

M2

ba 2

3.设fx0,x0,1，则



fx2dx。

4.设函数fx在闭区间0,1上连续，在0,1内有二阶导数，且fx0，证明：



1

fxndxf。

n1

5.设函数fxC0,1，且x,y0,1，有fxfyMxy，b

证明



a

1n

fxdxf

nk1

kM

。

n2n

6.估计



x2dx的符号。

7.设fx在0,1上连续且单调减少，f10，求证：

xfxdxfxdx

01



xfxdx

01

fxdx

8.设fx在a,b上连续，且fx0，则

b



a

fxdx

a

b

ba。fx9.设f1x,f2x,,fnx均为a,b上正值可积函数0ab，证明：

b1



n

f1xdxf2xdxfnxdxf1xf2xfnxdx。

aaaab

n

b

1n

b

1n

10.设fx在a,b上可导，且fx在a,b上可积，fafb0，试证：

fxfxdx

2a

b

axb。

11.设fx在,有界，且导数连续，又对任意的实数x有fxfx1，试证：fx1。

1

12.设fx在,aa0上非负可积，且xfxdx0，a1



a

a

求证：

xfxdxfxdx。

21a

1a

aa

13.设fx在0,1上有二阶连续的导数，则对任意的0,,

132,1，有 3

fx3fffx。

14.设fx在a,b上连续，则maxfxfxdxfx。xa,bbaa

a

bb

15.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明：



fxdx

maxfx。40x1

16.设fx在a,b上连续，且严格单增，证明：ab

fxdx2xfxdx。

a

a

bb

17.设fx在0,1上有连续的导数，满足0fx1且f00求证：

113

fxdxfxdx。00

18.设fx在0,1上连续且递减，证明：当01时，19.设fx在0.上连续，且单调增加，证明：

ba

1

xfxdxbfxdxafxdx。20a0b

fxdxfxdx。

1

20.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明：



fxdxfxdx。402

21.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明：

b

f

a

bab2xdxfxdx。2

a

22.设fx在0,1上有连续的导数，证明： 对于x0,1，有fx

fxfxdx。

23.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明：

b



a

2ba

fxfxdxfxdx。

2a

b

24.设fx在a,b上有连续的导数，且fafb0，证明：

b



a

2ba

fxfxdxfxdx。4a

b

25.设fx在a,b上不恒为零，且其导数fx连续，并且有fafb0，证明：

a,b，使f

fxdx。ba

2a

b

26.设fx在a,b上单调增加，且fx0，证明：

bafafxdxba

a

b

fafb。

27.设fx在0,1上连续，且单调减少，fx0,证明：对于满足01的任何

,，有fxdxfxdx。





28.设fx在a,b上具有连续的二阶导数，fx，且f0f10,fx0，证明：



fx

4。fx29.设fx在a,b上连续，且fx0，证明：

b

1b1lnfxdxlnfxdx。babaaa



30.设Intannxdx，n为大于1的正整数，证明：



。In

2n12n11

31.设fx在0,1上有一阶连续导数，且f1f01，证明：fxdx1。



32.设fx在0,2上连续，且

fxdx0,xfxdxa0，证明：

0,2，使fa。

33.设fx在0,1上连续，且

fxdx0,xfxdx1.，证明：

1）x00,1，使得fx04；2）x10,1使得fx14。

34.设fx在0,1上连续，且



fxdx0,xfxdx0,,x

n1

fxdx0,xnfxdx1，证明：c0,1，n

使fc2n1。

35.设正值函数fx在闭区间a,b上连续，b

b

fxdxA，证明：

a

b



a

fxe

fx

dx

a

babaA。fx36.设函数fx在闭区间a,b上连续，不恒为零。满足0fxM，bbMbab

fxdx。则fxcosxdxfxsinxdx

12aaa